Движение твердого тела. Момент инерции тела. Уравнение моментов. Теорема о переносе осей. Кинетическая энергия вращающегося тела. Гироскопы и их применения. 2 страница

Возводя обе части уравнения (7-10) в квадрат и учитывая, что sin² j + cos² j = 1, получим: . (7-11) - уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно осей координат (рис.29а). При sinj = 0 и sinj = p эллипс вырождается в прямую (рис.29 в и д) (7-12) При разности фаз между колебаниями p/2 оси эллипса совпадают с осями координат (рис.29 в).

Рис.30. Фигуры Лиссажу.

Если частоты складываемых колебаний отличаются друг от друга, то форма кривой, которую описывает радиус-вектор суммарного колебания становится очень сложной и зависит от соотношения складываемых частот. Для некоторых соотношений частот складываемых колебаний получающиеся фигуры, называемые фигурами Лиссажу.

Понятие о разложении колебаний в ряд Фурье. В математике существует теорема Фурье, согласно которой любой периодический процесс x(t) с периодом Т может быть представлен в виде бесконечной суммы гармонических колебаний с частотами, кратными величине w =2p/Т:

x(t)=A₀+A₁sin(wt+j₁)+A₂sin(2wt+j₂)+A₃sin3wt+j₃)+...,(7-13) - ряд Фурье. Каждое из слагаемых суммы - отдельная гармоника, амплитуда и нач. фаза которой зависит от вида функции х(t). Совокупность амплитуд и частот, на которые разлагается любое негармоническое колебания, образуют спектр этого колебания. Графическое изображение спектра приведено на рис.31. Каждая составляющая спектра изображается в виде

Рис.31. Графическое представление спектра.

вертикальных линий, основание которых расположено в соответствующих местах оси частот, а длина каждой из линий пропорциональна величине амплитуды выбранной гармоники. Не следует думать, однако, что спектральное разложение имеет только математический смысл. В реальных физических процессах, зависящих от времени, всегда удается

выделить гармонические колебания, частота и амплитуда которых полностью соответствуют гармоникам разложения в ряд Фурье. Непериодическая физическая величина может быть представлена в виде интеграла Фурье, содержащего бесконечно много спектральных составляющих. Пример спектрального представления - разложение импульса длительности t, когда величина спектральной частоты w_спектр= . (7-14)

Упругие колебания — колебания упругих тел по инерции (собственные колебания) или под действием возмущающих сил (вынужденные колебания).

Свободные колебания. Рассмотрим колебания груза массы m, висящего на пружине, жесткость которой k. Направим ось координат Х вертикально вниз, причем за начало отсчета

l qXVb11sXr5ZqxoUAPcmERG2OjwbpIARYJTj1Rm+zZjGfCIOWxI9b+O3evedm1KWkAaxmhE4lRS7Q IWFFsEe3DUaCwUKBEPwc4eLOzxkORIo/+kKNQvpcgAgoZSdtZ/H1UXw0HU1H/V4/HU57/bgoeo9n k35vOEseDYrDYjIpkje+rKSf1ZxSJn1lt3uR9P9u7nYbup3o/WbsKYzuo4e2QLK3/yHpMBN+DLYD NVd0fWZ8W/x4wCoE593a+l37+R687j4u4x8AAAD//wMAUEsDBBQABgAIAAAAIQAjdmjo2wAAAAcB AAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sTI5RS8MwFIXfBf9DuIJvLnXrRqlNh7T4UBBhmz8ga2JTTW5C k63133t90qfD4RzO+ar94iy76imOHgU8rjJgGnuvRhwEvJ9eHgpgMUlU0nrUAr51hH19e1PJUvkZ D/p6TAOjEYylFGBSCiXnsTfaybjyQSNlH35yMpGdBq4mOdO4s3ydZTvu5Ij0YGTQjdH91/HiBLwd QvsauqJpUM7dZ9su1nRGiPu75fkJWNJL+ivDLz6hQ01MZ39BFZkVsMlzapLuSCnfFFtgZwH5egu8 rvh//voHAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA AFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAA AAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEA8vn9jnQCAACkBAAADgAAAAAAAAAA AAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAI3Zo6NsAAAAHAQAADwAAAAAA AAAAAAAAAADOBAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAANYFAAAAAA== " o:allowincell="f"> >   Рис.32. Колебания груза на пружине.

примем точку О (рис. 32), лежащую на одном уровне с центром масс m, когда груз неподвижен. При этом пружина растянута на величину x по сравнению с недеформированном состоянием. Величина упругой силы, действующей на массу m, равна kx. В равновесии mg - kx = 0. (8-1) Если теперь сместить груз из положения равновесия, то он начнет совершать колебательное движение. Колебания, которые происходят в системе, выведенной из положения равновесия и затем предоставленной самой себе - свободные (собственные),а частота, с которой они происходят - собственной.

Пусть в некоторый момент времени смещение груза х. Тогда второй закон Ньютона: ma_x = mg - k (x +x) с учетом (8-1) ma_x = - kx. (8-2)

В свою очередь, уравнение (8-2) можно записать иначе, если представить ускорение тела через вторую производную смещения по времени a_x = d²x/dt ² и обозначить величину k/m = : = - x. (8-3) - дифференциальное уравнение второго порядка, однако его решение можно угадать простым перебором всех элементарных функций, из которых только функции синуса и косинуса удовлетворяют решению этого уравнения.

Если смещение x = A sin(w₀t + j), (8-4), то скорость тела , (8-5) и ускорение тела . (8-6)

Сравнение (8-4) и (8-6) показывает, что действительно (8-4) является решением уравнения (8-3). Величины А и j остаются произвольными, для их определения необходимо использовать начальные условия. Например, если при t = 0 x(0)=0, а v(0) = v₀, то из (8-4) следует, что sinj = 0 и j = 0, a из (8-5) величина А=v₀/w₀. При этих условиях решением уравнения (8-3) служит функция х(t) = . Задание тех или иных начальных условий обычно определяется конкретными условиями поставленной задачи.

Затухающие колебания. В реальной жизни любой колебательный процесс постепенно затухает из-за наличия сил трения. Для колебаний груза на пружине существенную роль играет так называемое вязкое трение, сила которого при малых смещениях оказывается пропорциональной величине скорости тела: F_трен = - bv = - b . (8-7)

В этом случае второй закон Ньютона: + mg - k (x +x). (8-8)

Пусть , это уравнение можно преобразовать так: , (8-9), .- дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Решение: , (8-11), А и j определяются из начальных условий. В большинстве случаев b<<w₀ и w₃» w₀. Решение (8-11) представляет уже негармоническое колебание, т.к. его амплитуда А уменьшается с течением времени.

Относительное изменение амплитуды за период колебания характеризуется декрементом затухания D, величина которого находится из выражения: D= , (8-12), Время релаксации - время, за которое амплитуда уменьшается в e раз. декремент затухания равен относительному уменьшению амплитуды за время, равное периоду колебания. Логарифмический декремент затухания d=lnD=bТ.

Энергетические соотношения в колебательных процессах. Для груза, совершающего гармонические колебания, значение кинетической энергии mv²/2 находится прямой подстановкой в величину кинетической энергии выражения для скорости колебательного движения, определяемой выражением (8-5): Е_кин = . (8-13)

Максимальное значение этой энергии равно (8-14) и достигается в момент, когда тело проходит положение равновесия. Пройдя это положение, тело продолжает двигаться по инерции и вызывает деформацию пружины. При этом кинетическая энергия движущегося тела переходит в потенциальную энергию деформированной пружины Е_пот (см. (6-10)) (потенциальная энергия определяется неоднозначно, и начало отсчета этой энергии может быть выбрано произвольно): Е_пот = . (8-15)

Максимальное значение этого вида механической энергии равно: . (8-16). При незатухающих колебаниях , поэтому имеет место сохранение механической энергии: . В этом случае суммарная энергия сохраняет свою величину в любой момент времени (выражения (8-13) и (8-15)): , (8-17) где учтено, что sin² a + cos² a = 1 и .

Если колебания являются затухающими, за каждый период колебаний суммарная энергия колеблющегося тела уменьшается на величину работы против сил трения. В этом случае колеблющееся тело или любая система, в которой происходят колебания, характеризуется качеством или добротностью системы Q - способность системы к превращениям одного вида механической энергии в другой (кинетической в потенциальную и наоборот). Количественно добротность определяется как отношение максимальной энергии упругой деформации (или максимальной кинетической энергии колеблющейся системы) к средней величине потерь энергии в системе за период. Известно, что среднее значение любой переменной величины <у> за период определяется соотношением: <у> = .

Мгновенное значение силы вязкого трения F_трен= b bw₀Acos(w₀t +j), тогда среднее значение работы <А_трен> за единицу времени против этой силы равно: <А_трен> = . (x=Asin(w₀t+j); dx = Aw₀cos(w₀t+ j)dt)

Выразим cos²(w₀t + j) через функцию двойного угла: cos²a = (1+cos2a) и подставим его в выражение для: <А_трен> = = , (8-18) поскольку значение второго интеграла в (8-18) равно нулю (среднее значение за период любой гармонической функции равно 0, т.к. эта функция половину периода положительна, а половину - отрицательна). Очевидно, что за весь период Т на преодоление силы трения будет затрачена энергия W_потер = <А_трен> Т, и добротность колебательной системы может быть определена как: , (8-19), . Из выражения (8-19) видно, что добротность системы определяется ее упругими, инерционными и диссипативными (силы трения иногда называют диссипативными силами, поскольку работа против них в конечном счете превращается в тепло, т.е. рассеивается в пространство) свойствами. Можно сказать, что добротность - число, показывающее за сколько периодов колебаний вся энергия, запасенная в системе, будет превращена в работу против сил трения.

Как правило, добротность механических систем довольно высока. Здесь уместно вспомнить о звучании музыкальных инструментов: отдельная нота может звучать несколько секунд, хотя частота колебаний составляет несколько килогерц.

Колебания груза на пружине также могут продолжаться довольно долго, однако в последнем случае существенно заметить, все рассмотренные случаи колебаний касались движения, где изменялась одна координата, в то время как известно, что для полного описания движения точки необходимо задать три. Все они считаются равноправными, поэтому, если по каким-то причинам в системе возникают колебания в двух или трех направлениях, то первоначально запасенная энергия станет равномерно распределяться между всеми направлениями колебаний; другими словами, если груз будет совершать не строго вертикальные колебания вдоль одной прямой, то его колебания затухнут быстрее.

Колебания математического и физического маятников. Математический маятник - точечная масса, подвешенная на длинной невесомой и нерастяжимой нити. На первый взгляд раскачивание такой системы связано с изменением по меньшей мере двух координат сразу так, что для описания такого движения надо записывать 2 закон Ньютона для каждой из координат в отдельности, а затем искать связь между ними. Но задача может быть упрощена, если обратить внимание на то, что движение математического маятника происходит при постоянной длине нити подвеса, т.е. его можно рассматривать как частный случай вращательного движения, когда в качестве единственной переменной выбирается угол отклонения от положения равновесия. В этом случае вместо уравнения движения в форме 2 закона Ньютона необходимо использовать основное уравнение динамики вращательного движения: I , (8-20), I - момент инерции точечной массы относительно точки подвеса,

Рис.33. Колебания математического маятника.

М - момент всех внешних сил, действующих на эту массу, и - угловое ускорение массы, которое, определяется как вторая производная по времени от угла j отклонения от вертикали (рис. 33). Момент инерции точечной массы m, находящейся на расстоянии l от оси вращения, по определению равен I = m l 2, а единственной силой, момент которой относительно оси вращения отличен от нуля, является сила тяжести. Ее момент относительно оси, проходящей через точку подвеса, равен M = mgh = mg l sin j, и уравнение динамики вращательного движения принимает вид: , (8-21)

или после сокращения обеих частей на величину m l: . (8-22)

Знак минус в уравнениях (8-21) и (8-22) появился потому, что направление отсчета угла j взято против часовой стрелки, тогда как момент силы тяжести стремится повернуть маятник по часовой стрелке.

Для малых углов отклонения j синус угла можно разложить в ряд Тэйлора по малому параметру j: f (x) = f (0) +

Поскольку sin0=0, то в разложении синуса исчезнут члены, содержащие f(0) и вторую производную и синус угла j равен: sin j = j -

Даже для углов отклонения около 30⁰ вторая поправка в разложении синуса дает величину, чуть большую 2%, поэтому с достаточной степенью точности функцию синуса можно заменить его аргументом так, что уравнение (8-22) приобретает вид: , (8-23), что полностью совпадает с уравнением движения груза на пружине. Поэтому нетрудно прийти к заключению, что частота колебаний математического маятника определится также, как частота собственных колебаний груза на пружине: . (8-24)

l цм     Рис.34. Физический маятник.

Если в качестве маятника используется тело произвольной формы, то уравнение вращательного движения для такого физическогомаятника записывается аналогично уравнению для математического маятника: , (8-25) l цм-расстояние, на котором расположен центр масс тела от оси вращения (рис.34). Частота собственных колебаний физического маятника:W= .(8-26)

Уравнение вынужденных колебаний. Вынужденные – колебания, которые происходят под действием внешней периодической силы. В этом случае частота колебаний не определяется параметрами самой системы, а задается внешним источником. Для груза на пружине уравнение движения может быть получено формальным введением в уравнение (8-8) еще одной внешней периодической силы F(t) = F₀sin wt: - k(x+x) + F₀sin wt; (9-1) после преобразований и обозначений, аналогичных прошлой лекции, получим:

f₀ sin wt, (9-2), f₀ = Т.к. груз колеблется с частотой вынуждающей силы, решение дифференциального уравнения (9-2) может быть записано так: x(t) = A sin(wt + j). Появление фазового сдвига между колебаниями груза и внешним воздействием связано с определенной инерционностью системы, реагирующей на внешнее воздействие с некоторым опозданием. Однако, для упрощения последующих выкладок, удобнее изменить начало отсчета сдвига фаз: пусть колебания груза происходят по закону x(t)=Asinwt, а внешняя сила получает некоторое опережение по фазе, т.е.f₀ sin(wt -j) = f (t) или заменяя j на (- y), f(t)=f₀sin(wt +y).

(На 1 этапе в системе будут как вынужденные, так и затухающие колебания, но через время релаксации затухающие исчезнут, останутся только вынужденные, в системе установится режим вынужденных колебаний).

Вычислим последовательно первую и вторую производные от х(t), подставим эти производные в (9-2): = ; ; после приведения подобных получим: (9-3)

Рис.35. Графическое решение уравнения (9-3).

Вспоминая, что колебания можно представлять в векторном виде, рассмотрим уравнение (9-3) как векторное: два вектора, стоящие в его левой части в сумме дают вектор в правой части (рис.35). Из рисунка по теореме Пифагора следует: . Тогда , (9-4) и . (9-5) Из найденного выражения для амплитуды вынужденных колебаний (9-4) видно, что1) величина А зависит от частоты вынуждающего воздействия. 2) , т.к. колебания смещ. груза отстают по фазе от колебаний вынуждающей силы3)Для нахождения экстремального

значения этой амплитуды найдем производную знаменателя и приравняем ее к нулю:

4(, откуда следует, что «экстремальное» (резонансное) значение частоты: (9-6)

> >   Рис.36.Резонансная кривая.

Если частота внешнего воздействия может изменяться, то в тот момент, когда ее значение совпадает с wрез, знаменатель (9-4) становится минимальным, а амплитуда вынужденных колебаний достигает максимальной величины. На практике очень часто наблюдается, что колеблющаяся система обладает слабым затуханием и b << w0. В этом случае wрез»w0, т.е. значение резонансной частоты совпадает с собственной частотой системы. Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний до максимума, когда частота внешнего воздействия приближается к собственной частоте колебаний - резонанс.Изменение амплитуды вынужденных колебаний в области частот,

близких к резонансной - резонансная кривая. Чтобы оценить относительное изменение амплитуды при резонансе, необходимо знать величину амплитуды на двух частотах - на резонансной и на частоте, достаточно далекой от w _рез. Рассматривая (9-4) нетрудно заметить, что такой «далекой» частотой удобно выбрать w₀.В этом случае А₀= . На резонансной частоте при условии, что b<<w₀ и w_рез w₀, амплитуда колебаний равна , поэтому отношение выбранных амплитуд = Q, т.е. амплитуда при резонансе увеличивается в Q раз (Q - добротность системы). При достаточно высокой добротности смещение отдельных частей системы может превышать пределы допустимых деформаций, что приведет к разрушению системы. Особенно опасны такие явления там, где разрушение колеблющейся системы может повлечь за собой гибель людей (на механическом транспорте). Вращение винтов, валов с определенной частотой может вызвать резонансные колебания корпусов самолетов, судов и машин. Чтобы предотвратить подобные явления, конструктора вынуждены заранее тщательно рассчитывать как собственные частоты транспортных средств, так и возможные частоты, возникающие при различных режимах работы двигателей.

Важной характеристикой резонансной кривой является так называемая ширина кривой. Шириной резонансной кривой называют область частот, близких к резонансной частоте, на которых относительное уменьшение «реакции» системы на внешнее воздействие не превышает 30% (точнее в 1/ раза) относительно «реакции» на резонансной частоте (рис.36). Степень задаваемого ослабления носит субъективный характер и связана со слухом человека. Многочисленные измерения показали, что человек «на слух» различает громкости различных источников звука, если их амплитуды отличаются на 30%. Если громкости отличаются на меньшую величину, то человек воспринимает как одинаковые. Другими словами, все звуки при их резонансном усилении, лежащие в области ширины резонансной кривой, будут казаться человеку звуками с одинаковой громкостью. Это важно учитывать при конструировании и изготовлении музыкальных инструментов.

11. Упругие волны. Монохроматическая волна, ее формула и характеристики. Суперпозиция бегущих волн. Стоячие волны. Эффект Доплера. Звуковые волны. Инфра- и ультразвук, их применение. Волна - распространение в пространстве изменений какой-либо физической величины. Изменения величины могут носить как периодический, так и непериодический характер. Для того, чтобы эти изменения могли распространяться в некоторой области пространства, необходимо наличие некоторых условий; в частности, в каждой точке рассматриваемой области физическая величина должна иметь определенное значение (величина имеет полевой характер). Кроме того должна осуществляться взаимосвязь изменения физической величины в одной точке пространства с изменением этой же величины в соседних точках. Скорость распространения изменения определяется как природой изменяемой величины, так и свойствами среды, в которой распространяется это изменение. При этом определенную роль играет направление колебаний в волне. Если направление колебаний совпадает с направлением распространения волны, то такие волны - продольные. Если же колебания происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, то такие волны поперечные. Если относительное изменение величины (изменение, деленное на саму величину) мало по сравнению с единицей, то такое изменение - возмущение физической величины: волны на поверхности воды, возникающие

Рис.37. Распространение волны.

при бросании в воду камешка. Образовавшиеся искажения поверхности воды (рис.37) начнут распространяться во все стороны, образуя своеобразные кольцевые структуры. Возникшая волна достигнет некоторой точки, отстоящей на расстояние х от места попадания камня в воду через время t = ,

v - скорость распространения возмущения поверхности воды. Пусть в точке попадания камня в воду профиль образовавшегося возмущения является некоторой функцией f(t). Ясно, что в любой точке поверхности, куда доходит образовавшееся возмущение, величина f(t) будет зависеть не только от времени, но также и от расстояния, однако для упрощения предположим, что возмущение сохраняет свою форму вне зависимости от пройденного расстояния. Тогда в любой точке поверхности, отстоящей от начальной точки на расстояние х, профиль возмущения f(t) будет изменяться во времени с некоторым запаздыванием на величину t=x/v, т.е. аргументом функции f(t) станет величина (t-х/v). Независимость величины возмущения от координаты означает, что f(t)=f(t-х/v). Волны, для которых имеет место последнее равенство - плоские. Если в начальной точке возмущение изменяется по гармоническому закону, то такая волна - синусоидальная. Синусоидальная плоская волна записывается в таком виде: f(х,t)=Аsinw(t- =Аsin(wt- )=Asin(wt-kx), (9-7) - волновое число, - длина волны. Аргумент синуса в уравнении (9 -7) определяет фазу волны F (x,t). Поверхность, соединяющая все точки, фазы которых одинаковы - волновая поверхность (фронт волны). Если волна плоская, то фронт волны - плоская поверхность. Волна, распространяющаяся во все стороны от точечного источника - сферическая; для такой волны волновая поверхность - сфера. Если на какой-либо поверхности фаза постоянна, скорость перемещения координаты, для которой фаза постоянна можно определить дифференцируя условие постоянства фазы: =0, откуда v_фаз= (9-8) т.е. скорость распространения волны совпадает со скоростью распространения постоянной фазы. Направление колебаний в распространяющейся волне может совпадать с направлением волны, в этом случае волна продольная, но может быть так, что распространение волны происходит в направлении, перпендикулярном плоскости, в которой совершаются колебания; тогда волны поперечные. Звук - продольные. Поперечные на поверхности воды.