Движение твердого тела. Момент инерции тела. Уравнение моментов. Теорема о переносе осей. Кинетическая энергия вращающегося тела. Гироскопы и их применения. 1 страница

Основное уравнение динамики вращательного движения. Пусть имеется твердое тело

Рис.13 Вращение твердого тела.

произвольной формы, которое может вращаться вокруг оси О1О2. Разбивая тело на малые элементы, можно заметить, что все они вращаются вокруг оси О1О2 в плоскостях, перпендикулярных оси вращения с одинаковой угловой скоростью w. Движение каждого из отдельных элементов малой массы m описывается 2 законом Ньютона. Для i-го элемента: miai= fi1+fi2+....+fiN+Fi, (4-4) fik (k=1,2,...N) – внутренние силы взаимодействия всех элементов с выбранным, а Fi-равнодействующая всех внешних сил, действующих на i-элемент. Скорость vi каждого элемента может меняться

как угодно, но поскольку тело является твердым, то смещения точек в направлении радиусов вращения можно не рассматривать. Спроектируем уравнение (4-4) на направление касательной и умножим обе части уравнения на r_i: r_i(m_ia_i)_t=r_i( r_i(f_i1)_t +r_i(f_i2)_t+...+r_i(f_iN)_t+r_i(F_i)_t. (4-4a)

В правой части произведения типа r_i(f_i1)_t согласно (4-3): М = [rf] - моменты внутренних сил относительно оси вращения, т.к. r_i и (f_i)_t взаимно перпендикулярны. Аналогично произведения r_i(F_i)_t - моменты внешних сил, действующих на i-элемент. Просуммируем уравнения движения по всем элементам, на которые было разбито тело.

Рис.14. Компенсация моментов внутренних сил.

Сумму моментов внутренних сил можно разбить по парам слагаемых, обязанных своим возникновением взаимодействию двух элементов тела между собой. На рис.14 представлена пара, состоящая из 1-го и 2-го элементов. Проводя плоскость через линию, соединяющую эти элементы, параллельно оси вращения О1О2, нетрудно заметить, что моменты сил взаимодействия этих элементов равны по величине и противоположно направлены, т.е. они компенсируют друг друга. Действительно, силы f12 и f21 равны между собой; равны и их составляющие (f12) = (f21). Кроме того равны и их плечи - величина r sina (выражение М=[rf] рис.11.). Оно является перпендикуляром, опущенным налинию действия силы. (l 12= l 21), т. к. каждое из них перпендикулярно проведенной плоскости.

Поэтому моменты сил М₁ = (f₁₂) r₁sin(90⁰ - g) = (f₁₂) l ₁₂ и M₂ = (f₂₁) r₂ sin(90⁰ - b) = (f₂₁) l ₂₁ равны и противоположно направлены. На основании этого можно сделать вывод, что при сложении всех моментов внутренних сил они попарно уничтожатся. Суммарный момент всех внешних сил обозначим SМ_i, где M_i=[r_iF_i]. Левая часть уравнения (4-4а) с учетом (3-7): = = , (4-5) величина - момент инерции твердого тела относительно заданной оси. Эта величина характеризует распределение массы тела относительно определенной оси. Момент инерции тела складывается из моментов инерции его отдельных элементов, которые можно рассматривать как материальные точки, т.е. I = , j_i = m_i - момент инерции материальной точки.

При практическом вычислении моментов инерции вместо суммирования используется интегрирование (суммирование бесконечно малых величин). Если ось, относительно которой вычисляется момент инерции, проходит через центр симметрии тела, то вычисление такого интеграла представляет сравнительно несложную задачу, но в общем случае задачу решить трудно. Для упрощения вычислений полезной оказывается теорема о параллельном переносе осей инерции (теорема Гюйгенса - Штейнера): момент инерции относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями, I_произ=I_цм+md ². (4-6)

На основании изложенного уравнение (4-4а) с учетом (4-5) приводится к виду: =I (4-6) - произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение равно сумме моментов (относительно той же оси) сил, действующих на рассматриваемое тело со стороны других тел. Физический смысл момента инерции: . Чем больше момент инерции, тем меньшее по величине угловое ускорение приобретает тело под воздействием данного момента приложенных сил.

Левую часть уравнения (4-6) можно представить по-другому, т.к. по аналогии с правой частью величину [r_ia_im_i]=[ = - изменение момента импульса (радиус r_i внесен под знак дифференцирования, т.к. все точки вращаются по окружностям постоянного радиуса). Если обозначить [r_im_iv_i]=[r_ip_i]=L_i, a сумму =L, то уравнение (4-7) можно записать так: . (4-8) Рис.15 поясняет определение момента импульса

Рис.15.Момент импульса материальной точки.

точечной массы относительно точки О, который вычисляется также как момент силы [rimivi] = [ripi] = Li. Направление момента импульса определяется правилом правого буравчика - вектор r вращается по кратчайшему пути к вектору mv, а направление движения оси буравчика указывает направление вектора L. Момент импульса относительно оси также определяется

аналогично моменту силы относительно оси: L = [r p] (4-9) значения r и р соответствуют обозначениям рис.12 (с заменой f на р). Для вращательного движения точки L = [rmv] = [r mwr] = wmr ² = wI_i. Для твердого тела L = wI.(4-10).

Закон сохранения момента импульса. Если правая часть уравнения (4-8) оказывается по каким - либо равной нулю - суммарный момент сил равен нулю, то и L = const. Это случается, если система замкнута, т.е. внешние силы вообще не действуют, или если моменты внешних сил компенсируют друг друга, если внешние силы оказываются центральными - линии действия всех сил пересекаются в одной точке. Весьма интересным представляется случай, когда механический момент импульса при вращении тела имеет достаточно большую величину (по сравнению с моментом внешних сил). Наиболее ярким примером этого служит гироскоп - достаточно массивное тело, быстро вращающееся вокруг оси симметрии.

I W1vFgevFenW0g9BmsKkoY6m2k2CD8GuoHkg8hGF26a+R0QB+4ayjuS25/7wVqDgzbyw14GU2HveD Hp3xZJaTg5eR9WVEWElQJQ+cDeYyDJ9j61BvGnopi+VauKam1Tqq2fMbWB3J0mzGlhz/UT/8l37M +vXbFz8BAAD//wMAUEsDBBQABgAIAAAAIQBw68834AAAAAoBAAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1s TI9BT4NAEIXvJv6HzZh4swutQEWWxjRt0osxVi/eFnYEIjtL2C1Ff73Tk97mZV7e+16xmW0vJhx9 50hBvIhAINXOdNQoeH/b361B+KDJ6N4RKvhGD5vy+qrQuXFnesXpGBrBIeRzraANYcil9HWLVvuF G5D49+lGqwPLsZFm1GcOt71cRlEqre6IG1o94LbF+ut4sgowez7sUrt/SF/mnYk/DuP2Z6qUur2Z nx5BBJzDnxku+IwOJTNV7kTGi551vOQtQcEqyUBcDPfZCkTFR5KsQZaF/D+h/AUAAP//AwBQSwEC LQAUAAYACAAAACEAtoM4kv4AAADhAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNd LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQA4/SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8u cmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQDOb9iTJgIAADUEAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJv RG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQBw68834AAAAAoBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAIAEAABkcnMv ZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAAjQUAAAAA " o:allowincell="f" strokeweight="1pt"/> m GVmeWufTujPxz1LNuBBhXIREbY5Hw2QYHKwSnHqlN7NmMZ8Ig5bED1z47eLeMzPqUtIAVjNCp5Ii FwiRsCTYo9sGI8FgpUAIdo5wcWfnDAcqxR9tIXEhfS5ABZSyk7bT+HrUH02PpkdpL00Op720XxS9 x7NJ2jucxY+GxaCYTIr4jS8rTrOaU8qkr+x2M+L07yZvt6Pbmd7vxp7C6D564BqSvf0PSYep8IOw Ham5ousz49viBwSWIRjvFtdv28/3YHX3eRn/AAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAXiKY+t4AAAAI AQAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbEyPQU7DMBBF90jcwRokdtSBtpCGOBVKxCISQmrpAdx4Ggfs sRW7Tbg9ZgXL0X/6/025na1hFxzD4EjA/SIDhtQ5NVAv4PDxepcDC1GSksYRCvjGANvq+qqUhXIT 7fCyjz1LJRQKKUDH6AvOQ6fRyrBwHillJzdaGdM59lyNckrl1vCHLHvkVg6UFrT0WGvsvvZnK+B9 55s33+Z1TXJqP5tmNrrVQtzezC/PwCLO8Q+GX/2kDlVyOrozqcCMgOVqlUgBm3wDLOVP2RrYMXHL dQ68Kvn/B6ofAAAA//8DAFBLAQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAATAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/WAAAAlAEAAAsAAAAA AAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhABHnsdV1AgAApgQAAA4AAAAA AAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAF4imPreAAAACAEAAA8A AAAAAAAAAAAAAAAAzwQAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAADaBQAAAAA= " o:allowincell="f"> Рис.16 Прецессия гироскопа.

Его закрепляют в одной точке с помощью специального устройства - карданова подвеса. Если на него действуют внешние силы (груз mg на рис), то ось гироскопа начинает смещаться под воздействием момента силы (см. (4-8)), т.е. изменение момента импульса совпадает с направление М. За малый промежуток времени dt ось гироскопа повернется на угол dj так, что изменение момента импульса dL = L1 - L2 = Ldj. В то же время из

(4-8) следует dL=Mdt, или Ldj = Mdt, откуда можно прийти к выводу, что гироскоп начинает вращаться в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка с частотой, которая называется частотой прецессии (4-11). Если моменты внешних сил малы по сравнению с моментом импульса вращающегося тела, то частота прецессии мала, и тело сохраняет ориентацию оси вращения в пространстве (жонглирование предметами в цирке).

Кинетическая энергия вращающегося тела. Масса m, угловая скорость . Кинетическая энергия dW_к малого элемента тела массы dm, окружность радиуса r и линейная скорость v. Кинетическая энергия dW_к= dmv²= dm = dI , dI-момент инерции рассматриваемого элемента. Кинетическая энергия тела складывается из кинетических энергий всех малых элементов тела, определяется взятым по всему объему тела интегралом Wк= = . Последний интеграл представляет собой момент инерции I тела относительно Оси вращения так что W_к= Прослеживается аналогия с поступательным движением, при котором W_к= с учетом соответствии m-I, v- обе формулы совпадают.

Работу силы F, приложенной к телу, вращающемуся относительно оси, также можно представить в виде, аналогичном случаю прямолинейного движения тела вдоль оси Ох. Заметим, что величина малого перемещения dl точки приложения силы по дуге окружности радиуса r связана с углом поворота d соотношением dl=rdφ (ось вращения перпендикулярна плоскости чертежа и изображается точкой О), имеем: A₁₂= (сравните с формулой A₁₂= с учетом соответствия x- , ).

9. Инерциальные и неинерциальные системы координат. Принцип относительности Галилея. Законы движения в неинерциальных системах. Силы инерции. Кориолисовы силы. Первый закон утверждает, что существуют такие системы отсчета, в которых всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействия со стороны других тел не заставят его изменить это состояние. Свойство тела сохранять свое состояние неизменным называют инерцией, а СО, в которых выполняется этот закон - инерциальными. Физический смысл закона: для механики нет различия между состоянием покоя и равномерного прямолинейного движения. Он подчеркивает относительность движения.

Принцип относительности Галилея. В механике выполняется принцип относительности, впервые высказанный Галилеем и носящий его имя: механические явления протекают одинаково во всех инерциальных СО. Согласно принципу относительности Галилея кинематический закон движения материальной точки будет одним и тем же во всех инерциальных СО, если опыт проводится при одинаковых условиях, т.е. при том же расположении и движении тел, воздействующих на рассматриваемую точку, и при тех же начальных условиях. Но кинематический закон движения является решением уравнений движения , представляющих собой запись второго закона Ньютона F=ma в дифференциальной форме. Поэтому для выполнения принципа относительности Галилея необходимо, чтобы сами уравнения F=ma имели одинаковый вид во всех инерциальных СО, т.е. не меняли своей формы при преобразованиях Галилея x=x′+V₀t, y=y′, z=z′. Ускорение a_x=a_x′ a_y=a_y′ a_z=a_z′ инвариантно относительно преобразований Галилея; масса и силы, изучаемые в механике, также инвариантны, чем и обеспечивается одинаковость формы уравнений движения материальной точки во всех инерциальных СО. В современной физике принцип относительности формулируется более широко: все без исключения процессы (а не только механические) протекают одинаково во всех инерциальных СО.

При этом выяснилось, что координаты точки в двух инерциальных СО связаны друг с другом более сложными формулами, чем преобразования Галилея - они называются преобразованиями Лоренца. Уравнения движения, даваемые вторым законом Ньютона, не сохраняют своей формы при преобразованиях Лоренца, что указывает на приближенный характер ньютоновской механики. Уравнения движения в релятивистской механике, описывающей движение материальной точки с любыми скоростями вплоть до скорости света в вакууме, сохраняют форму при преобразованиях Лоренца. Однако движение макроскопических тел вполне удовлетворительно описывается ньютоновской механикой и не возникает практической необходимости пользоваться релятивистскими формулами.

Рис.17.Две системы отсчета.

Если силы и масса являются инвариантами в механике Ньютона, то величина а может быть различной в разных неинерциальных СО. Пусть имеются две СО XYZ и X*Y*Z*, XYZ - покоится, а другая - движется с некоторым а. В силу установленной инвариантности массы и сил в этих системах имеем: F=F* и m=m*.Если ускорение тела в «звездной» системе отсчета-а*, а сама система движется относительно неподвижной системы с переносным ускорением а0, то общее ускорение телаотносительно системы XYZ а =а0+а*

. Рис.18. «Движущийся тротуар»

Рассмотрим «движущийся тротуар» - систему параллельных движущихся с различной скоростью дорожек. Если тело движется перпендикулярно дорожкам, то при переходе с одной дорожки на другую его скорость будет изменяться. Быстрота изменения скорости определяется двумя факторами: величиной различия скоростей двух соседних дорожек и быстротой перехода тела с одной дорожки на другую, т.е. аК = . (5-3)

Это ускорение называется кориолисовым (поворотным). Направление этого ускорения определяется направлением Dv=v_i+1-v_i (i=1, 2...) - на рис.18 вправо по отношению к вектору скорости u, т.е. перпендикулярно ему. Известно, что этот вид ускорения проявляется во вращающихся системах координат. Величину кориолисова ускорения во вращающейся системе координат направление вращения можно определить из рассмотрения рис.19.

Рис.19.Определение величины ускорения Кориолиса.

Тело участвует в двух движениях: вращательном с угловой скоростью w, направленной от читателя перпендикулярно листу, и равномерного со скоростью u, направленной по радиусу вращения. Пусть за малый промежуток времени Dt тело сместится вдоль радиуса на расстояние DR = R2 - R1 и при этом повернется на угол Dj = wDt, занимая точки А1 и А2 соответственно. Общее изменение скорости состоит из двух слагаемых, одно из которых связано с увеличением тангенциальной скорости вращательного движения при переходе от меньшего радиуса R1 к большему R2, т.е. Du1 = wDR = w(R2- R1).

Второе слагаемое Du₂, изображенное на рис 19 в правом верхнем углу, обусловлено поворотом вектора u при переходе из положения А₁ в положение А₂: Du₂= uDj = u wDt. (5-4)

Направление слагаемого Du₁ как и на рис.18 направлено перпендикулярно u, т.е. вниз. При стремлении Dt к нулю направление Du₂ также стремится к перпендикуляру к u. Поэтому при Dt 0 оба слагаемых совпадают по направлению и , (5-5) т.к. по смыслу . Оба сомножителя, входящие в правую часть выражения (5-5) векторы. Ускорение а_К - тоже вектор, поэтому в правой части (5-5) должно стоять векторное произведение. Порядок сомножителей в этом произведении должен быть такой, чтобы само произведение было направлено вправо от направления u, поэтому .(5-6)

Возвращаясь к рассмотрению ускорения тела в неподвижной системе отсчета, теперь можно утверждать, что оно состоит из трех слагаемых: а = а₀+а^*+а_К. (5-7)

Второй закон Ньютона в неинерциальных системах отсчета. Как уже установлено, величина сил и масс являются инвариантами в механике Ньютона, поэтому уравнения движения в неподвижной и неинерциальной системах отсчета записываются следующим образом: ma=m(а₀+а^*+а_К)= , (5-8) m^*a^*= ^*, (5-9) причем m=m^*, a = ^* Переписывая (5- 8), получим m^*a^*= - ma₀ - mа _K (5- 10) или m^*a^*= ^*-ma₀-ma_K. (5-10а)

Сравнивая уравнения (5-9) и (5-10а), можно заметить, что 2 закон Ньютона сохранит свой смысл, если члены (-ma₀) и (-mа_K) трактовать как некоторые дополнительные силы, возникающие в неинерциальной системе отсчета и получившие название сил инерции

( и ). Первая из сил, стоящих в скобках - переносная сила инерции, а вторая - сила инерции Кориолиса. Примером проявления переносной силы инерции может служить поведение пассажиров в переполненном автобусе при его резком торможении, когда какая-то «непонятная сила» заставляет всех их дружно «валится» вперед по ходу движения. Сила инерции Кориолиса объясняет такие явления как отклонение Гольфстрима к северо-востоку, направление пассатов, дующих из области высокого давления в сторону экватора, рельеф берегов рек, текущих в меридианальном направлении, отклонение снарядов, выпущенных из огнестрельного оружия. Существует правило, определяющее направление силы Кориолиса, которое гласит, что в северном полушарии силы инерции стремятся отклонить тело вправо, если смотреть по ходу движения, а в южном - влево.

10. Колебательное движение. Гармонические колебания и принципы их сложения. Понятие о теореме Фурье. Упругие колебания. Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний. Характеристики собственных колебаний. Вынужденные колебания. Резонанс. Колебания – процессы, которые можно описать с помощью какой-то периодической функции. Любое колебание может быть охарактеризовано: 1. амплитудой колебаний - величиной наибольшего отклонения от положения равновесия, 2. периодом колебаний - временем одного полного колебания; величина, обратная периоду – частота - кол-во колебаний в ед. времени; 3. фазой колебаний, характеризующей состояние колебаний в любой момент времени.

Гармоническое колебание происходит по закону синуса или косинуса. Оно может быть представлено в трех видах: графическом, аналитическом и векторном. Аналитическое:

Рис.24.Графическое представление колебаний.	x(t)=Asin(wt+ j), (7-1) j - начальная фаза, а весь аргумент синуса (wt+ j) - фаза колебания, w = 2p/ T - угловая частота колебаний (Т - период колебаний). В векторном представлении колебание представляется в виде вектора, длина которого пропорциональна амплитуде колебаний. Сам вектор вращается в плоскости чертежа с
Рис.25. Векторное представление колебаний.	угловой скоростью w вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости и проходящей через начало вектора колебания. Первоначальное отклонение вектора от горизонтали изображает начальную фазу колебания. Этот вид представления колебаний удобен для сложения колебаний, когда результирующее колебание находится как векторная сумма всех слагаемых.

Сложение гармонических колебаний. Сложение двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты, каждое из которых можно представить в аналитическом виде x₁(t) = A₁sin (wt+j₁) и x₂(t) = A₂sin (wt+j₂) и векторном виде - рис.26. Поскольку оба слагаемых вращаются с одинаковой частотой, суммарный вектор также вращается с этой же частотой, т.е. результатом суммы x₁(t) и x₂(t) будет гармоническое колебание той же частоты, амплитуда которого находится как диагональ параллелограмма А_S, построенного на

Рис.26. Сложение двух колебаний.

векторах А1 и А2: ; (7-2) j2-j1 определяется из рис. 26. Величина начальной фазы j результирующего колебания определяется из величины тангенса этого угла: , АSy и АSх - проекции амплитуды суммарного колебания на оси Y и X соответственно.

Как следует из рис, значение А_Sх равно сумме проекций на ось Х каждого из слагаемых колебаний: А_Sх=Х₂+Х₁ = А₂cosj₂ + A₁cosj₁. (7-3)

Аналогичное выражение может быть получено и для суммарной проекции на ось Y: А_{S y} = Y₂ + Y₁ = A₂ sin j₂ + A₁ sin j₁. (7-4) Тогда . (7-5)

Несколько сложнее найти сумму двух колебаний, если их частоты отличаются друг от друга. Практически интересным является случай, когда это различие незначительно, т.е. w₁= w₀ + W и w₂ = w₀ - W, причем W<< w₀. Пусть для простоты амплитуды обоих колебаний и их начальные фазы одинаковы. Тогда x₁(t) = Asin(w₀ + W)t и x₂(t) = Asin(w₀ - W)t. Суммируя эти выражения, получим x₁(t)+ x₂(t) = A{sin(w₀ + W)t + sin(w₀ - W)t} = [2AcosWt] sin w₀t, (7-6)

Рис.27. Биения.	величина, стоящую в квадратных скобках - медленно меняющуюся амплитуда. Результат суммы таких колебаний, представленный на рис.27 - биения. Пример биений - «завывание» двигателей многомоторных самолетов, при условии их грамотной технической эксплуатации. Если амплитуды слагаемых колебаний неодинаковы, то картина наблюдающихся биений
Рис.28. Сумма колебаний с близкими частотами разных амплитуд.	отличается от предыдущей, т.к. теперь суммарная амплитуда изменяется от значения А1+А2 до минимума А1-А2. Важно отметить, что в обоих случаях суммарное колебание не является гармоническим, хотя оно и записывается в виде произведения гармонических функций, т.к. его амплитуда не остается постоянной и медленно изменяется с течением времени.

Сложение перпендикулярных колебаний. Пусть имеются два гармонических колебания одинаковой частоты, направления колебаний которых взаимно перпендикулярны друг другу. Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза одного из колебаний была = 0.

Рис.29. Результат сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты.

При таком условии колебания можно записать так: x = a sin wt, y = b sin(wt + j), j - разность фаз обоих колебаний. Первое уравнение можно переписать так: (7-7) тогда как второе после преобразования по формуле суммы синусов двух углов принимает вид .(7-8). Из первого уравнения следует, что = ± . (7-9) Заменяя в уравнении (7-8) sinwt и coswt их эквивалентами из уравнений (7-7) и (7-9), можно найти:

, или (7-10)