Движение твердого тела. Момент инерции тела. Уравнение моментов. Теорема о переносе осей. Кинетическая энергия вращающегося тела. Гироскопы и их применения. 4 страница

  Рис.43. Пульверизатор. содержащего жидкость, плотно прижата, то при сжимании резиновой груши образуется ток воздуха, давление в потоке уменьшается, и под давлением воздуха, находящегося внутри сосуда, жидкость устремляется вверх. Оконечность горизонтальной трубки сужена в виде сопла, что способствует еще большему увеличению скорости потока воздуха, который увлекает за собой капли поднимающейся жидкости. В домашних условиях обычно используется упрощенный вариант этого устройства, где поток воздуха создается обыкновенным пылесосом. Для этого достаточно всасывающий шланг присоединить к выходному отверстию пылесоса.

13. МКТ вещества. Состояние вещества и термодинамические параметры его определяющие. Характеристики атомов и молекул и экспериментальные методы их определения. Кинетическая теория изучает свойства веществ, рассматривая их состоящими из атомов, которые находятся в непрерывном хаотическом движении. Огромное число отдельных объектов (атомов и молекул) делает невозможным описание их состояния с точки зрения законов Ньютона. Поэтому в молекулярной физике используется статистический метод, когда для характеристики того или иного параметра вещества используются усредненные значения.

Первым объектом нашего изучения явится газообразное состояние вещества. В основе кинетической теории газов лежат следующие постулаты: 1. все тела состоят из большого количества атомов и молекул, движущихся в случайных направлениях с различными скоростями 2. расстояния между молекулами значительно превышают размеры самих атомов или молекул 3. каждая из молекул подчиняется законам классической механики, но их кинетическая энергия много больше, чем потенциальная энергия взаимодействия между собой 4. взаимодействие молекул носит характер упругих столкновений.

Газ, который удовлетворяет всем этим требованиям - идеальный. Это абстрактная модель, в действительности поведение реальных газов только приближенно следует закономерностям, полученным для идеального. Степень приближения связана прежде всего с конечными размерами реальных молекул, тогда как в модели идеального газа их принято считать материальными точками. Справедливости ради необходимо отметить, что в нормальных условиях поведение большинства реальных газов может достаточно точно описываться законами идеального газа, но при сильных сжатиях конечный размер молекул приводит к заметному отклонению поведения реальных газов от идеального.

Описание состояния идеального газа. Для однозначного определения положения в пространстве одной молекулы идеального газа необходимо знать ее три координаты. Число молекул в одном кубическом сантиметре примерно 2,7*10¹⁹. Поэтому даже современный компьютер не в состоянии решить соответствующую систему уравнений. Задача молекулярной физики состоит в том, чтобы попытаться описать состояние газа с помощью небольшого количества физических параметров (давления, температуры, массы, теплоемкости), связав их со свойствами отдельных атомов и молекул. Решение этой задачи достигается путем усреднения отдельных микроскопических величин. Такое усреднение может быть проведено различными способами.

Пусть, например, требуется найти среднее число молекул в определенном объеме. Его можно найти, либо вычисляя среднее число в заданном объеме в различные моменты времени, либо беря различные одинаковые объемы в различных частях сосуда, содержащего идеальный газ. Обозначим среднее значение числа молекул, найденное по первому способу как <N>_t, а среднее по второму-<N>_анс. Первое из них обычно называют средним по времени, а второе - средним по ансамблю - совокупность отдельных воображаемых величин. В настоящее время считается, что <N>_t=<N>_анс. Доказательства справедливости этого равенства до сих пор не существует, и его принимают как некоторую гипотезу. Величины, найденные таким способом макроскопические. Если значения макроскопического параметра оказывается одинаковыми для любых выбранных частей рассматриваемой системы и не изменяются с течением времени, то говорят о равновесном значении этого параметра. Если в системе установилось равновесие по всем параметрам, характеризующим систему, то такая система - равновесная.

При этом отдельные макроскопические величины оказываются связанными друг с другом. Так, например, опытным путем были установлены газовые законы: Шарля р/T = const, Гей-Люссака V/T = const, Бойля - Мариотта pV = const, а также объединенный закон Менделеева - Клапейрона pV=(m/m)RT, связывающие макроскопические величины m, молекулярного веса m, р, V и Т. Из этих законов видно, что изменение одного параметра вызывает изменение другого. Ясно, что любое изменение параметра влечет нарушение равновесного состояния системы. Поэтому для того, чтобы в любой момент времени система находилась в равновесном состоянии, требуются бесконечно малые изменения параметров, и переход из одного равновесного состояния в другое должен происходить бесконечно долго. В реальной жизни рассматриваются квазиравновесные процессы, происходящие достаточно медленно и долго.

Основное уравнение кинетической теории. Предполагается, что давление газа на стенку сосуда создается за счет упругих ударов молекул газа об эту стенку. При упругом ударе сохраняется кинетическая энергия молекул, и, следовательно, скорость молекулы до и после

> > tH NcnI8tRYV9ZdiDuWasaF8HIREnXAVxqnPsEowalzujCjF/OJ0GhJnOD8b3fvvTCtLiX1YDUjdCop sp4QCUOCHbppMBIMRgoMH2cJF3dxVnOgUvwxFgoX0tUCVEArO2urxtdH4dF0NB0lgyQeTgdJWBSD x7NJMhjOokdpcVhMJkX0xrUVJVnNKWXSdXY7GVHyd8rbzehW0/vZ2FMY3Ef3XEOxt/++aK8KJ4St pOaKrs+0exYnEBgGH7wbXDdtP+991N3nZfwDAAD//wMAUEsDBBQABgAIAAAAIQDhHka33wAAAAoB AAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sTI/BTsMwEETvSPyDtUjcqN0KNSXEqVAiDpEQUls+wI2XOG28 tmK3CX+Pe4Ljzo5m3hTb2Q7simPoHUlYLgQwpNbpnjoJX4f3pw2wEBVpNThCCT8YYFve3xUq126i HV73sWMphEKuJJgYfc55aA1aFRbOI6XftxutiukcO65HNaVwO/CVEGtuVU+pwSiPlcH2vL9YCZ87 X3/4ZlNVpKbmVNfzYBoj5ePD/PYKLOIc/8xww0/oUCamo7uQDmyQsBaJPCY9W2bAboZn8QLsKGEl MgG8LPj/CeUvAAAA//8DAFBLAQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAATAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/WAAAAlAEAAAsAAAAA AAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAPk+J4V0AgAApgQAAA4AAAAA AAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAOEeRrffAAAACgEAAA8A AAAAAAAAAAAAAAAAzgQAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAADaBQAAAAA= " o:allowincell="f">           Рис.44. Упругий удар молекулы об стенку.

ее удара об стенку. Т.к. при упругом ударе под некоторым углом к стенке никаких сил вдоль стенки не действует, то проекция импульса молекулы на это направление сохраняет свое значение, тогда как нормальная проекция импульса (проекция на направление, перпендикулярное стенке-ось Х) изменяет свое значение на обратное. Т.о. изменение импульса молекулы происходит в направлении, нормальном к стенке.

Выберем некоторый участок поверхности стенки площадью S и подсчитаем количество ударяющихся о стенку в единицу времени молекул, скорости которых имеют проекцию на ось Х, близкую к значению . Пусть концентрация таких молекул равна n_i. Массы всех молекул считаются одинаковыми и равными m.

Если до удара о стенку проекция импульса на ось Х была , то после удара она станет (- ). Изменение импульса молекулы, а, следовательно, и изменение импульса стенки Dk_i равно: Dk_i = - (- ) = 2 . (11-1)

Из выделенной группы молекул за промежуток времени dt достигнут поверхности S лишь те молекулы, скорости которых направлены к стенке (), и которые находятся от стенки не далее расстояния D l = dt. Другими словами, те молекулы, которые находятся внутри объема DV=S dt. Как уже отмечалось, n_i, поэтому общее число их ударов о стенку за время dt равно DN_i=n_iS dt. В результате ударов этих молекул импульс стенки изменится на величину

DК_i=2 DN_i=2 n_iS dt=2mn_iS dt. (11-2)

Чтобы найти общее изменение импульса всех молекул при ударах о стенку DК, нужно просуммировать выражение (11-2) по всем значениям скоростей молекул, т.е. по всем :

DК = . (11-3)

Умножая и деля правую часть на концентрацию молекул n, рассмотрим величину суммы , (11-4) k₁ ,k₂ ,..k _i,... k_N - количество появления тех или иных значений скорости. Из статистики известно, что сумма (11-4) - среднее арифметическое (среднее значение величины ), числа k₁,k₂,....k_i,...k_N характеризуют так называемые статистические веса значений v₁ ,v ₂ ,..v_i,... v _N. С учетом определения (11-4) выражение (11-3) принимает следующий вид: DК=2mS n dt. (11-5)

Среднеквадратичную проекцию скорости молекул на ось Х можно связать со среднеквадратичной скоростью хаотического движения молекул в предположении о равноправии всех трех осей координат. Т.к. v²= , и все направления скорости равновероятны, можно считать .Учтем, что движение в сторону положительных и отрицательных значений х также равновероятны, поэтому = . Деля обе части (11-5) на Dt и замечая по 2 закону Ньютона представляет силу, действующую на стенку: . Поскольку сила, деленная на площадь - давление на единицу площади, то (11-5): , (11-6) основное уравнение кинетической теории газов. Величину давления можно выразить через среднюю энергию, приходящуюся на одну молекулу. = , (11-7)

14. Распределение молекул по скоростям (распределение Максвелла). Понятие о плотности состояний. Функция распределения Максвелла и ее экспериментальное значение. Распределение молекул по скоростям. Среднеквадратичная - результат усреднения по всевозможным значениям скоростей, которыми обладают молекулы газа. При этом предполагается, что все направления скоростей равновероятны, и усреднение велось лишь по величине скоростей. Поскольку в молекулярной физике оперируют средними значениями физических параметров, то важно уметь вычислять значения величин, зависящих от скорости (энергии, импульса, момента импульса). Для этого необходимо знать функцию распределения, т.е. иметь количественную характеристику того, как различаются молекулы по скоростям, или какая относительная доля молекул имеет определенную скорость. При этом бессмысленно говорить о том, какое конкретное значение скорости имеет та или иная молекула, т.к. в газе каждую секунду происходит 5*10⁹ столкновений, в результате которых молекулы постоянно меняют значение своей скорости. Если выбирать интервал скоростей достаточно малым, то число молекул, скорость которых лежит в этом интервале, определяется 3 факторами: общим числом молекул газа N_общ, величиной заданного интервала скоростей dv и третьим параметром, характеризующим распределение молекул по скоростям f(v), т.е. относительной долей молекул со значениями скоростей в интересующем нас интервале dv:

(11-11) или .

Явный вид функции определен Максвеллом, который для идеального газа с массой молекул m при конечной температуре Т нашел, что , (11-12)

Из графика видно,что функция имеет максимум при некотором значении скорости. Его легко найти по обычной процедуре исследования любой функции на экстремум:

Рис.46.Функция распределения Масквелла.

получим: . (11-13) наиболее вероятная скорость.Число молекул, скорости которых лежат в интервале от v1 до v2 определяется площадью заштрихованной кривой, которая равна интегралу f(v) в пределах от v1 до v2, т.е. . (11-14)

Если интервал задаваемых скоростей расширяется от нуля до бесконечности и охватывает всевозможные молекулы, то N₁₂ N_общ, и полная площадь, ограниченная кривой равна единице: S .(11-15)

При повышении температуры очевидно, что скорости молекул увеличиваются, и кривая должна расширяться в сторону больших скоростей, но ее площадь остается постоянной - кривая становится более «низкой».

15. Распределение Больцмана. Барометрическая формула и атмосфера планет. Уравнение состояния идеального газа. Барометрическая формула. До сих пор предполагалось, что распределение молекул однородно по всему объему, занимаемого газом. Однако в поле внешних сил эта однородность нарушается. В качестве простого примера рассмотрим поведение газа в поле тяжести Земли. Из гидро- и аэростатики известно, что давление внутри жидкости (газа) в заданной точке определяется высотой вышележащего столба жидкости (газа) Пусть ось координат Z направлена вертикально вверх. Рассмотрим

Рис.47. Давление в столбе газа.

тонкий слой газа, нижняя поверхность которого имеет координату z, а верхняя z + dz. При малой толщине слоя можно считать, что плотность газа r внутри слоя постоянна. Тогда по известному закону аэростатики изменение давления dp при изменении высоты столба на dz равно: , (11- 16) где знак минус означает, что с увеличением высоты z давление уменьшается. Плотность газа выражается через уравнение состояния газа в предположении о постоянстве температуры по всей высоте выделенного вертикального столба: ; = .

Подставляя последнее выражение в (11-16): . (11-17) или . (11-18) Интегрируя (11-18): . (11-19)

Постоянную интегрирования можно определить из условия z = 0; при z = 0 р = р₀, р₀ - давление на поверхности Земли. Тогда С = - ln p₀ и потенцируя (11-19) можно найти: .(11-20) барометрическая формула. Она дает лишь приближенный характер изменения атмосферного давления с высотой, т.к. в действительности температура в земной атмосфере не остается постоянной. Кроме того, воздух в ней не остается неподвижным, и происходит постоянное перемешивание слоев воздуха с различными параметрами (температурой, влажностью).

Понятие о распределении Больцмана. Преобразуем показатель степени в (11-20) с учетом того, что . Тогда , U(z) = mgz - потенциальная энергия молекулы в поле Земли. Тогда (11-20) приобретает такой вид: .

Величину р(z) можно выразить из основного уравнения кинетической теории газов через концентрацию молекул n: р = = = nkT, k = 1,38 10^-23 Дж/град, откуда видно, что давление пропорционально концентрации молекул. Поэтому концентрация молекул также экспотенциально зависит от энергии: n(z) = n₀ . (11-21)

Больцман обобщил эту формулу на случай произвольного распределения по энергиям некоторого числа частиц в произвольном силовом поле (не только гравитационном Земли). Если в системе может быть несколько энергетических уровней, то «заселенность» этих уровней определяется распределением Больцмана: n(E_i)=n₀ , (11-22), т.е. при любой конечной температуре частицы распределяются так, что их число на каждом из уровней тем меньше, чем больше величина энергии этого уровня.

16. Первое начало термодинамики. Внутренняя энергия. Теплота и работа. Число степеней свободы атомов и молекул. Закон распределения энергии по степеням свободы. Теплоемкость идеального газа при постоянном объёме и давлении. Работа идеального газа при различных процессах. Основные понятия термодинамики. Первоначально термодинамика возникла как наука о закономерностях превращения тепла в работу при помощи тепловых двигателей. Круг вопросов, которые изучает термодинамика, связан с тепловой формой движения материи, т.е. с хаотическим движением атомов и молекул. Термодинамика основывается на нескольких законах, которые получены путем обобщения огромного числа опытных фактов, касающихся макроскопических свойств вещества. Из этих законов математическим путем выводится большое число следствий, верных безотносительно к микроскопической структуре тел.

Основной объект внимания термодинамики - термодинамическая система (любая совокупность физических тел). Состояние этой системы описывается с помощью ограниченного числа макроскопических величин (физических параметров). Например, для газа - это р, V, T, m. Для разных частей системы параметры могут принимать различные значения. В этом случае говорят, что температура - неравновесный параметр. Если же параметры системы одинаковы для различных ее частей и сохраняются неизменными длительное время, такое состояние системы - равновесное. Строго говоря, термодинамика обязана рассматривать только равновесные состояния, т.к. в противном случае макроскопические значения параметров теряют свой смысл. В то же время термодинамику интересуют процессы передачи теплоты и совершение механической работы, т.е. для нее важны изменения в выбранной системе или переход из одного состояния в другое. Для удовлетворения этих противоречивых требований используется два приема: во-первых, любое изменение состояния рассматривается как квазиравновесное, т.е. состоящее из ряда последовательных равновесных состояний, причем параметры двух близких состояний отличаются друг от друга на бесконечно малую величину; во-вторых, термодинамика широко использует понятие функции состояния, т.к. знание самой функции и ее значения в некоторый начальный момент времени позволяют предсказать состояние системы в любой последующий момент времени безотносительно к условиям перехода из начального положения системы в конечное.

Первый закон термодинамики. В тепловых двигателях полезная работа совершается за счет расширения горячих газов или пара, которые в термодинамике принято называть рабочим телом. Эта полезная работа совершается при изменении внутренней энергии газа или пара (рабочего тела). Поэтому важно уметь в нужный момент времени по возможности увеличивать внутреннюю энергию рабочего тела.

Если два изолированных тела с разной температурой привести в контакт друг с другом, то через некоторое время их температуры выровняются - наступит тепловое равновесие. Ясно, что при этом температура одного тела уменьшится, а другого увеличится. Это означает, что в месте теплового контакта молекулы одного тела при хаотическом движении передают свою энергию молекулам другого тела. Процесс передачи энергии путем хаотических микроскопических взаимодействий - теплообмен (теплопередача), а переданное при этом количество энергии - теплота (тепло).

Тело, которое служит для передачи энергии некоторой термодинамической системе - тепловой резервуар или термостат (в том случае, если в процессе теплопередачи его температура не изменяется). Температура термостата должна быть выше температуры системы, если требуется передать тепло системе, и наоборот, для того, чтобы отобрать некоторое количество теплоты у системы, температура резервуара должна быть ниже температуры системы. В этом случае переданной теплоте приписывается знак минус.

Если тело не изолировано, то ему можно сообщить энергию и другим способом; в частности, из ЗСЭ следует, что это можно сделать при совершении механической работы внешними силами, действующими на выбранное тело. При этом имеется в виду, что механическая работа сил распределяется по всем частям рабочего тела, т.е. она превращается во внутреннюю энергию.

В общем случае внутреннюю энергию можно изменять обоими способами:

(13-2)

Если вместо работы внешних сил рассматривать работу самой термодинамической системы А_сист=-А _внеш, то выражение (13-2): DQ = DU + A_сист. (13-3)

Для бесконечно малых изменений величин, входящих в (13-3) нужно помнить, что бесконечно малая работа обозначается как dА, поэтому dQ = dU + dA, (13-4), dU-полный дифференциал. Действительно, согласно (11-10) внутренняя энергия определяется как сумма двух членов: U= , Первое слагаемое зависит только от температуры, а второе - только от расстояния между взаимодействующими частицами системы. Поэтому, если считать внутреннюю энергию как функцию двух переменных, то ее бесконечно малое приращение можно представить в виде полного дифференциала: dU(r,T) = , поскольку производные от U по Т или r совпадают с определениями частных производных. Очевидно, что бесконечно малое приращение теплоты не является полным дифференциалом, т.к. оно состоит из суммы двух слагаемых, одно из которых (dA) не является полным дифференциалом.

Выражение (13-4) - математическая запись 1 закона термодинамики: теплота, полученная телом, трансформируется в изменение внутренней энергии и совершении работы системой против внешних сил.

Работа газа при различных процессах. Пусть газ находится в некотором объеме V, плотно

Рис.53. К вычислению работы газа.

закрытым подвижным поршнем, площадь которого S. Давление газа в этом начальном положении р.При расширении газа поршень, начальное положение которого изображено пунктиром, движется вправо и перемещается на расстояние D l, совершая при этом работу DА = FD l, где F = pS - сила давления газа на поршень. Тогда DА = pSD l = рDV, поскольку SD l характеризует изменение

объема. Если объем газа изменяется от значения V₁ до V₂, то = . (13-5)

При изохорическом (V=const, dV=0) процессе газ не совершает работы. При изобарическом процессе (p=const) давление постоянно, и его можно вынести за знак интеграла. А = р = р(V₂ - V₁). (13-6)

При изотермическом процессе величину давления в функции от объема можно найти из уравнения состояния pV = : . А = . (13-7)

Теплоемкости идеального газа. Формулы (13-6) и (13-7) показывают: в разных процессах одно и то же количество газа способно совершить разную работу. Из 1 закона термодинамики следует, что эту работу газ может совершить при нагревании, т.е. при сообщении газу некоторого количества теплоты. Способность любого тела изменять свою температуру при сообщении ему теплоты характеризуется теплоемкостью тела. Она измеряется количеством теплоты, которое нужно сообщить телу, чтобы его температура изменилась на один градус. Если же телу сообщается малое количество теплоты DQ, и температура тела изменяется на DТ, то его теплоемкость С определяется соотношением С = . (13-8)

Обычно используют либо удельную теплоемкость, либо молярную. В первом случае измеряется количество теплоты в расчете на один грамм (килограмм) вещества, во втором количество вещества определяется его атомным весом, т.е. теплоемкость рассчитывается на 1 моль (киломоль). В термодинамике предпочитают использовать молярную теплоемкость, которая обозначается большой буквой С = = . (13-9)

При этом различают две теплоемкости: теплоемкость при постоянном объеме С_V и теплоемкость при постоянном давлении С_р. При постоянном объеме газ не совершает никакой работы, поэтому полученная теплота целиком превращается в изменение внутренней энергии, т.е .

Поскольку молекулы идеального газа взаимодействуют лишь путем упругих столкновений, его внутренняя энергия целиком состоит лишь из кинетической энергии молекул. Если каждая молекула газа имеет i степеней свободы, то ее кинетическая энергия Е_k = . Тогда энергия моля газа Е_М = = U.

Поэтому = . (13-10) Если же газ нагревается при постоянном давлении, = + = + .

Величина вычисляется из уравнения состояния идеального газа .

Учитывая, что давление остается постоянным, находим, что и . Заменяя из этого соотношения pdV в выражении для теплоемкости С_р: (13-11).

Из сравнения (13-10) и (13-11) видно, что теплоемкость С_р>С_V. Причина этого неравенства в том, что при постоянном давлении газ кроме изменения своей внутренней энергии совершает определенную работу за счет поступаемой теплоты, поэтому для того, чтобы нагреть газ на один градус требуется больше теплоты.

Адиабатический процесс. Как уже упоминалось, термодинамика предпочитает рассматривать равновесные, точнее квазиравновесные процессы. Существует, однако, множество явлений, которые принципиально нельзя моделировать равновесными процессами. Так, например, при распространении звука в воздухе области сжатия и разряжения чередуются с частотой несколько тысяч герц. В воздухе возникают локальные перепады температур, которые не успевают ликвидироваться за время существования звука. Термодинамика рассматривает распространение звука как адиабатический процесс - процесс без теплообмена с окружающей средой. Величину работы A = при адиабатическом процессе можно вычислить, заменяя pdV из 1 закона, который в этом случае принимает вид: С_V dT + pdV = 0. (13-12)

Отсюда следует, что pdV=-С_VdT, и работа А=- . (13-13)

Для получения уравнения адиабаты достаточно выразить давление р из уравнения состояния pV=RT: p= , и подставить получившееся выражение в (13-12). Тогда

С_VdT+ dV = 0; разделив обе части Т, находим . (13-14)

После интегрирования (13-14): . Величину R выразим через значения молярных теплоемкостей: R = C_p-C_V. Потенцируя равенство , находим или = сonst, (13-15) где . Из уравнения состояния Т= ; тогда (13-15) принимает такой вид: рV^g = const. (13-16) - классическое уравнение адиабаты, а предыдущее равенство является одним из других вариантов уравнения адиабаты. Как видно из рисунка, адиабата имеет более крутую