Работа и энергия. Мощность. Кинетическая энергия. Консервативные и неконсервативные силы. Потенциальная энергия

Определение работы силы. Элементарная работа dA силы F на перемещении d l - их скалярное произведение: dA = (Fd l) = Fd l cosa. (6-1).

Рис.20. Величина элементарной работы.

Скалярное произведение (6-1) может быть представлено в несколько ином виде: dA = d l (6-1*) или dA = F d l F, (6-1**) где = F cosa - проекция силы на направление перемещения, а d l F = l cosa - проекцию перемещения на направление силы. В декартовой системе координат величина элементарной работы (по правилам записи скалярного произведения):

, (6-2), где F_x, F_y, F_z - проекции силы на оси координат и dx dy dz - соответствующие проекции перемещения.

Для подсчета работы переменной силы на конечном перемещении необходимо просуммировать все элементарные работы: . (6-3)

Если сила - непрерывная функция координат, то суммирование заменяется интегрированием, и . (6-4)

Пример. Вычисление работы центральной силы (силы, действующей по прямой), соединяющей взаимодействующие тела, и величина этой силы зависит только от расстояния. Пусть материальная точка А действует на другую точку В центральной силой F. Точка В

l yzPrfE33Id4t1ZQLEbQiJGoyPOz3+iHBKsGpP/Rh1izmY2HQkni1hd/u3gdhRl1KGsAqRuhEUuQC GxImBHt0W2MkGMwTGCHOES7u45zhwKP4YywULqSvBXiAVnbWVopvht3h5HhynHSS3mDSSbp53nky HSedwTQ+6ueH+Xicx299W3GSVpxSJn1nd2MRJ38nu92AbgW9H4w9hdFD9MA1FHv3H4oOkvAq2Opp ruh6ZvyzeHXAJITg3dT6Uft5H6Luvy2jHwAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAhAC5hZ6HeAAAACgEA AA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxMj8FOwzAQRO9I/IO1SNyok0qUEOJUKBGHSAipLR/gxiYO2Gsr dpv077uc4La7M5p9U20XZ9lZT3H0KCBfZcA09l6NOAj4PLw9FMBikqik9agFXHSEbX17U8lS+Rl3 +rxPA6MQjKUUYFIKJeexN9rJuPJBI2lffnIy0ToNXE1ypnBn+TrLNtzJEemDkUE3Rvc/+5MT8LEL 7XvoiqZBOXffbbtY0xkh7u+W1xdgSS/pzwy/+IQONTEd/QlVZFbA+nFDXZKA5yIHRgY60HAk51Ne AK8r/r9CfQUAAP//AwBQSwECLQAUAAYACAAAACEAtoM4kv4AAADhAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQA4/SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAA AAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQALzBlecwIAAKMEAAAOAAAAAAAA AAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAuYWeh3gAAAAoBAAAPAAAA AAAAAAAAAAAAAM0EAABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAA2AUAAAAA " o:allowincell="f">     F Рис.21. Работа центральной силы.

перемещается из положения 1с радиусом-вектором в точку 2, радиус-вектор которой - r2. Выбирая на этом участке траектории малое перемещение d l, запишем выражение для элементарной работы: dA = Fd l F, Из рис. 21 видно, что d l cos a = dr - изменение радиуса на малом перемещении d l. Поэтому dA = F(r)dr, т.к. сила зависит только от расстояния. Полная работа силы на участке траектории 1-2 находится суммированием всех элементарных работ, т.е.

, (6-5), U(r) - первоообразная для функции F (r).

Для силы тяготения, которая также является центральной силой, работа при увеличении расстояния от земной поверхности от r₁ до r₂ согласно выражению (6-5) равна: . (6-6)

Знак минус перед выражением интеграла соответствует тому, что при увеличении расстояния от Земли приходится затрачивать работу, т.е. совершать отрицательную работу. Очевидно, что полная работа против силы тяжести при изменении расстояния от R_З до бесконечности равна: А = - . (6-7)

Рис.22.Работа центральной силы по замкнутому пути.

Если работа силы не зависит от формы пути, а определяется начальным и конечным положением материальной точки, то ее величина на отрезке ВС (рис.22) по пути 1 равна работе этой же силы на пути 2, но работа А1 противоположна по знаку работе А2: . (6-8) Тогда сумма работ по замкнутому пути равна А1+А2 = 0. В математике такая сумма называется циркуляцией: . (6-9)

Мощность — физическая величина, равная скорости изменения энергии системы. В более узком смысле мощность равна отношению работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени. Различают среднюю мощность за промежуток времени: и мгновенную мощность в данный момент времени:

Интеграл от мгновенной мощности за промежуток времени равен полной переданной энергии за это время:

Кинетическая энергия. Если на тело массы m действует некоторая сила F, сообщая ему ускорение а, то эта сила совершает определенную работу, которая связана с изменением скорости тела. Величина элементарной работы: dA = F cosad l = macosad l, направление силы совпадает с направлением ускорения. Тогда acosa= - проекция ускорения на направление перемещения, т.е. тангенциальная составляющей полного ускорения, которая характеризует изменение скорости по абсолютной величине: . С учетом этого выражение:

l = l. (6-12)

Пусть dt - промежуток времени, за который тело проходит отрезок d l. Тогда , (6-13) - скорость тела за промежуток времени dt. Принимая во внимание, что в механике Ньютона масса не зависит от скорости, выражение (6-13)

dA=md() = d() = d T, (6-14) где Т= - кинетическая энергия. На конечном участке траектории = Т₂ - Т₁=DТ, (6-15) т.е. изменение кинетической энергии тела за некоторый промежуток времени равно суммарной работе, совершенной всеми силами, действующими на тело в этот же промежуток времени.

Теорема о кинетической энергии – работа всех сил, действующих на материальные точки системы, идет на приращение кинетической энергии. T₂-T₁=

Cилы, работа которых не зависит от формы пути, а зависит только от начальной и конечной точки приложения сил и для которых выполняется условие (6-9) - потенциальные (консервативные). Отсюда следует определение: консервативные силы - силы, работа которых по любой замкнутой траектории равна 0: упругие силы F = -kx, т.к. работа этих сил (6-10).

Примером непотенциальных сил являются силы трения, работа которых явно зависит от формы траектории движения тела.

Потенциальная энергия. Имеются две материальные точки С и D, взаимодействие которых можно охарактеризовать центральными силами, и пусть их взаимное положение

Рис.23.Изменение конфигурации расположения точек.

изменилось за счет того, что точка С переместилась в новое положение С*, а D осталась на месте. Тогда центральная сила FDC совершит некоторую работу на отрезке СС*, величину которой можно обозначить АСС*. Очевидно, что это не единственный способ изменения конфигурации расположения точек: та же самая конфигурация может быть достигнута, если точка С вообще остается на месте, а точка D перемещается в новое положение D* при условии, что DD*=CC*. В этом случае работу A DD* совершает сила FCD. По 3 закону Ньютона FCD=FDC, и АСС*=ADD*, т.к. работа центральных сил, как было показано, зависит лишь от начального и конечного расположения взаимодействующих точек.

Наконец, та же самая конфигурация может быть получена при обоюдном перемещении С и D. В этом случае работу совершают обе силы F_CD и F_DC, ноих общая работа останется той же самой, если сумма перемещений=DD^*=CC^*.

Полученный вывод можно распространить и на систему материальных точек: суммарная работа всех потенциальных сил взаимодействия зависит лишь от начальной и конечной конфигурации системы. Знак работы при этом может быть любым - работа может как положительной (направление перемещения совпадает с направлением силы) так и отрицательной. Например, для сжатия пружины нужно приложить некоторое усилие, а сжатая пружина, распрямляясь, сама способна совершить работу. В этом случае говорят, что положительная работа совершается за счет «запаса» этой работы в самой системе. Если в системе материальных точек действует несколько различных по своей природе потенциальных сил, которые в этом случае называются внутренними, то общий «запас» положительной работы складывается из «запасов» каждого из видов взаимодействия. Поскольку выбор начальной конфигурации весьма условен, то можно утверждать, что практически любой конфигурации соответствует определенный «запас» положительной работы. Величину «запаса» этой работы при данной конфигурации системы материальных точек принято называть потенциальной энергией U.

При совершении системой положительной работы величина потенциальной энергии уменьшается. Наоборот, если над системой внешние силы совершают работу, которая считается отрицательной, то потенциальная энергия системы увеличивается. Из этого следует, что DU=U₂-U₁=-A₁₂, (6-11) изменение потенциальной энергии при некотором изменении конфигурации определяется суммарной работой всех внутренних потенциальных сил, взятой с обратным знаком. Точка начала отсчета потенциальной энергии может быть выбрана произвольно, т.к. для решения практических задач важным оказывается не сама величина потенциальной энергии, а лишь ее изменения. Важно отметить, что любая система стремится по возможности уменьшить свою потенциальную энергию. Поэтому устойчивое состояние системы соответствует минимуму потенциальной энергии.

Потенциальная энергия пружины. Рассмотрим систему, состоящую из 2 тел, соединенных невесомой пружиной, длина которой в недеформированном состоянии l₀. (рис. 38a). Если пружина упруго деформирована (сжата или растянута), то она действует на тела с силами, равными по модулю и направленными вдоль пружины: при растянутой пружине это силы притяжения, при сжатой - отталкивания (рис. 38б и 38в). Эти силы зависят от расстояния между телами и не зависят от скоростей.

Следовательно, они удовлетворяют критерию потенциальности и рассматриваемая система обладает потенциальной энергией. Работа внутренних потенциальных сил определяется только начальной и конечной конфигурациями системы, следовательно, она не зависит от того, в какой системе отсчета вычисляется.

Удобно связать СО с одним из тел, выбрав начало координат в положении равновесия второго тела и направив ось Ох вдоль пружины (рис. 39а). Тогда работа будет совершаться только над вторым телом (первое в выбранной СО покоится) упругой силой F, проекция которой на ось Ох выражается формулой: F, =-kx, х -координата 2 тела.

Малая работа ▲А при изменении координаты второго тела от значения х до F значения х+▲х (рис. 39б) ▲A= F_x▲x=-kx▲x, а работа на конечном перемещении из состояния с координатой х₁, в состояние с координатой x₂ определится интегралом А₁₂ =

Согласно определению потенциальная энергия измеряется работой, совершаемой потенциальными силами при переходе системы из рассматриваемого положения (с координатой х) в нулевое положение, в качестве которого естественно выбрать равновесное состояние системы, когда пружина не деформирована (x = 0). Подставляя в формулу x1=х и x2=0, получаем формулу для потенциальной энергии системы двух тел соединенных невесомой пружиной

Потенциальная энергия гравитационно взаимодействующих шара и материальной точки.

▲A=F_r▲r=(-GmM/r²)▲r

A₁₂=

Потенциальная энергия материальной точки, находящейся в однородном поле сил.

F_x=F_y=0, F_z=-F: ▲A=F_z▲z=-F▲z.

A₁₂=

Частный случай W=mgh. F=mg, z=h.