Непрерывность некоторых сложных функций

Здесь даны примеры исследования на непрерывность функций , где – некоторая разрывная функция. Основная трудность вызвана тем, что значение величины зависит от знака бесконечности и от того, будет ли .

Пример 15. Найдём точку разрыва функции и проверим поведение функции вблизи этой точки.

Поскольку число 2 можно возвести в любую степень, смотрим, при любых ли значениях x существует сам показатель степень. Нет, число подставить нельзя – получится деление на 0. Значит, надо найти предел в точке :

.

Но результат зависит от знака бесконечности. Основание , а функция возрастает на всей числовой оси, принимая значения от 0 до . Значит, , а .

В свою очередь знак бесконечности зависит от того, с какой стороны подойти к точке . Поэтому находим пределы слева и справа:

а) ;

б) .

Итак, предел слева равен 0, предел справа равен . Когда хотя бы с одной стороны предел бесконечен, получается разрыв 2-го рода (бесконечный скачок).

Ответ: разрыв 2-го рода в точке , предел слева 0, справа .

Замечание 4. Далее в заданиях показатель степени в скобки не берём.

Пример 16. Исследуем на непрерывность функцию .

Знаменатель не должен обращаться в 0. Но , если . Находим пределы слева и справа в точке . Учтём, что основание , и потому функция убывает от до 0, а именно, и .

а) ;

б)

(при раскрытии скобок , но знак 0 меняется на противоположный).

Ответ: разрыв 2-го рода в точке ; предел слева равен , справа – 0.

Пример 17. Найти точки разрыва функции , определить их тип.

Очевидно, большой знаменатель не должен обращаться в 0. Но показательная функция всегда положительна, тем более – если прибавить к ней 5.

Значит, проблемы могут возникнуть только со знаменателем . Действительно, число подставить нельзя – возникает деление на 0.

Воспользуемся методом близкой точки, взяв в качестве и соответственно 0,999 и 1,001.

Пусть . Тогда

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Пусть теперь . Тогда

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Тем самым предел слева равен 1,4, а предел справа равен 0. Значит, в точке получается разрыв 1-го рода – конечный скачок от значения 1,4 до значения 0.

Ответ: разрыв 1-го рода в точке , предел слева равен 1,4, справа – 0.

Пример 18 (повышенной сложности). Исследуем на непрерывность функцию , найдём точки разрыва, определим их тип.

Возможны два проблемных случая:

а) в 0 обращается знаменатель (очевидно, когда );

б) в 0 обращается знаменатель всей дроби (когда ).

Эти случаи рассматриваются отдельно и независимо один от другого.

1-й случай. Пусть . Найдём пределы слева и справа тем же способом, что в примере 17.

В качестве числа возьмём . Тогда

а) ; б) в) ;

г) ; д) ; е) .

Предел слева в точке 3 равен 0.

В качестве числа возьмём . Тогда

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Предел справа в точке 3 равен –48.

В точке имеет место разрыв 1-го рода – конечный скачок от значения 0 до значения –48.

2-й случай. Пусть , или, что то же самое, (учтём, что ). Тогда , поскольку функция монотонна.

Значит, , откуда , и – точка разрыва. Поскольку в ней получается , разрыв будет 2-го рода.

Выясним знак бесконечности, если подходить слева и справа к точке .

Поскольку , в качестве возьмём , а в качестве возьмём .

Пусть , тогда

а) ; б) в) ;

г) ; д) знаменатель ; е) .

Предел слева в точке равен .

Пусть , тогда

а) ; б) в) ;

г) ; д) знаменатель ; е) .

Итак, если подходить к слева, функция стремится к , а если подходить справа – стремится к .

Ответ: Функция терпит неустранимый разрыв 1-го рода в точке , при этом предел слева равен 0, а предел справа равен . Кроме того, функция терпит разрыв 2-го рода в точке , при этом предел слева равен , а предел справа равен .

Пример 19. Исследуем на непрерывность функцию .

Понятно, что – точка разрыва. Но если , то всегда .

Тогда , и степень положительна при любом аргументе, в том числе при . Но при степень бесконечна, и получается , или .

Ответ: разрыв 2-го рода в точке , пределы и слева, и справа равны .

Замечание 5. Совпадение знака бесконечности ни в коем случае не означает, что перед нами – точка устранимого разрыва. Разрыв устраним только для конечных числовых значений (когда совпадают числа).

Пример 20. Проверим непрерывность функции . Непрерывность нарушается, если , или .

Пусть :

а) ;

б) .

Пусть :

а) .

б) ;

Ответ: разрыв 2-го рода в точках и . В 1-й точке предел слева равен , предел справа равен 0; во 2-й точке – всё наоборот.

НФ11. Исследуйте функции на непрерывность, покажите схематично их поведение вблизи точек разрыва:

1) а) ; б) ; в) ; г) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ;

3) а) ; б) ; в) ; г) .

НФ12. Задание то же, что в НФ11:

1) а) ; б) ; в) ; г) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ;

3) а) ; б) ; в) ; г) ;

4) а) ; б) ; в) ; г) .

НФ13. Задание то же, что в НФ11:

1) а) ; б) ; в) ; г) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ;

3) а) ; б) ; в) ; г) .

Пример 21. Пусть предложено выяснить, как функция ведёт себя в точках разрыва.

Распространённая ошибка – решая уравнение и считая, что точки разрыва обязаны быть, раз о них речь в условии, взять . На самом деле

а) уравнение корней не имеет;

б) соответственно знаменатель дроби в 0 не обращается;

в) поэтому дробь определена при любых значениях x;

г) тогда, поскольку 3 можно возвести в любую степень, вся функция также определена при любых значениях x.

Никаких точек разрыва нет, функция непрерывна на всей числовой оси.

Пример 22. Исследуем на непрерывность функцию .

Функция определена на отрезке . Значит, должно быть выполнено неравенство , или . При этом

а) неравенство выполнено при любом действительном x;

б) неравенство выполнено только при .

Тем самым вся функция определена в единственной точке . Пределы слева и справа не имеют смысла.

Пример 23. Исследуем на непрерывность функцию .

Должно выполняться неравенство или, что равносильно, . При этом

а) неравенство выполнено при любом действительном x;

б) неравенство выполнено только при .

Поскольку и не определены, в 1-й точке функция непрерывна справа, а во 2-й – слева. На интервале функция непрерывна.