Предел дробно-рациональной функции в бесконечности

Пусть дана функция (см. стр. 16) и надо найти . Оказывается, при вся дробь ведёт себя так, как отношение старших степеней:

.

Тогда . Обозначим . Возможны 3 случая:

1) , тогда , где ();

2) , тогда , где ();

3) , тогда .

Таким образом, предел равен

а) бесконечности, если степень числителя больше, чем степень знаменателя;

б) 0 в противоположном случае;

в) отношению старших коэффициентов, если степени равны.

ПР7. Найдите пределы

1) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

3) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

ПР8. Найдите пределы

1) а) ; б) ; в) ;

2) а) ; б) ; в) ;

3) а) ; б) ; в) .

Пример 11. Оставив в числителе и в знаменателе старшие степени, находим

а) ;

б) ;

в) .

Пример 12. Оставив старшие степени, видим, что

а) ;

б) ;

в) .

Обратите внимание, что знак бесконечности (если таковая получается) в ответе не указывается. Тем не менее, если обе старшие степени – чётные (или если обе нечётные), очевидно, их отношение всегда положительно, что можно учесть.

ПР9. Найдите пределы функций в точках , , , , , а также при .

.