Исследование кусочно-заданных функций на непрерывность

Функция задана кусочно, если она на разных участках области определения задаётся разными формулами.

Основная идея при исследовании таких функций – выяснить, задана ли функция в тех точках, в которых переопределяется, и как. Затем проверяется, совпадают ли значения функции слева и справа от таких точек.

Пример 1. Покажем, что функция непрерывна.

Функция элементарна и потому непрерывна в тех точках, в которых определена. Но, очевидно, она определена во всех точках. Следовательно, во всех точках она и непрерывна, в том числе при , как требует условие.

То же справедливо для функции , и при она непрерывна.

В таких случаях непрерывность может нарушаться только там, где функция переопределяется. В нашем примере это точка . Проверим её, для чего найдём пределы слева и справа:

а) ;

б) .

Пределы слева и справа совпадают. Остаётся узнать:

а) определена ли функция в самой точке ;

б) если да, то совпадает ли со значениями пределов слева и справа.

По условию, если , то . Поэтому .

Видим, что (все равны числу 2). Это означает, что в точке функция непрерывна. Итак, функция непрерывна на всей оси, включая точку .