Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Дробно-рациональные функции терпят разрыв только в тех точках, где знаменатель обращается в 0, при этом разрыв – либо устранимый, либо бесконечный скачок (частный случай разрыва 2-го рода).
Пример 9. Исследуем на непрерывность функцию .
Знаменатель обращается в 0 в точке , при подстановке получаем неопределённость . Раскроем её:
,
тогда .
В точке имеет место устранимый разрыв, на графике получается прямая , из которой удалена точка с координатами и .
НФ7. Исследуйте на непрерывность функции и постройте их графики:
1) а) ; б) ; в) ; г) ;
2) а) ; б) ; в) ; г) ;
3) а) ; б) ; в) ; г) .
НФ8. Исследуйте на непрерывность дробно-рациональные функции. Покажите схематично поведение графика функции вблизи точки разрыва:
1) а) ; б) ; в) ; г) ;
2) а) ; б) ; в) ; г) ;
3) а) ; б) ; в) ; г) ;
4) а) ; б) ; в) ; г) .
Пример 10. Пусть . Эта функция не определена в точке , где знаменатель равен 0. Во всех других точках она определена и потому непрерывна по свойству элементарных функций.
Проверим точку . При подстановке её в функцию число 5 делится на бесконечно малую величину, получается бесконечность, и тогда – точка разрыва 2-го рода. Для построения схематичного графика находим пределы слева и справа:
а) ;
б) .
Если подходить к точке слева, график падает круто вниз вдоль вертикальной прямой , а при подходе справа – круто поднимается вверх.
Пример 11. Пусть . Функция непрерывна во всех точках, кроме той, где , т.е. кроме точки .
При подстановке получим , и потому – точка разрыва 2-го рода. Найдём пределы слева и справа:
а) ;
б) .
При подходе аргумента x слева к точке 2 график поднимается вдоль вертикальной прямой , а при подходе справа – круто падает.
НФ9. Исследуйте на непрерывность дробно-рациональные функции. Покажите схематично поведение графика функции вблизи точки разрыва:
1) а) ; б) ; в) ;
2) а) ; б) ; в) ;
3) а) ; б) ; в) ;
4) а) ; б) ; в) .
Пример 12. Пусть . Функция не определена при . Корни знаменателя – числа и . Во всех других точках функция определена и потому непрерывна как элементарная.
При получим , и поэтому обе точки – точки разрыва 2-го рода. Дальнейшие действия лишь уточняют знак бесконечности при подходе к точкам с конкретных сторон. При вычислении воспользуемся «методом близкой точки». Его идея – узнать знак функции в точках, близких к тем, что нас интересуют.
Пусть . Вместо точек –5–0 и –5+0 возьмём соответственно –5,1 и –4,9:
а) ;
б) .
При подходе слева к точке –5 график падает, при подходе справа – поднимается.
Пусть . Вместо точек 5–0 и 5+0 возьмём соответственно 4,9 и 5,1:
а) .
б) ;
При подходе слева к точке 5 график поднимается, при подходе справа – падает.
Пример 13. Пусть . Корни знаменателя – числа и . В остальных точках функция непрерывна.
Подставив, получим и – перед нами точки разрыва 2-го рода. Для уточнения знаков бесконечности применяем «метод близкой точки».
Для в качестве –6–0 и –6+0 берём соответственно –6,1 и –5,9:
а) ;
б) .
Для в качестве –0 и +0 возьмём соответственно –0,1 и +0,1:
а) ;
б) .
Вблизи точек –6 и 0 график ведёт себя одинаково – слева падает, справа растёт.
НФ10. Исследуйте на непрерывность дробно-рациональные функции. Покажите схематично поведение графика функции вблизи точки разрыва:
1) а) ; б) ; в) ;
2) а) ; б) ; в) ;
3) а) ; б) ; в) ;
4) а) ; б) ; в) .
Пример 14. Пусть . Решив уравнение , получаем корни и . В остальных точках функция непрерывна.
Подставив , получим . Значит, – точка разрыва 2-го рода. Уточним знак бесконечности:
а) ;
б) .
Подставив , получим . В этом случае, как известно, надо упростить дробь, разложив на скобки и сократив одинаковые:
,
тогда независимо от того, как подходить к точке .
Итак, – точка разрыва 2-го рода, в которой знак бесконечности меняется с «–» на «+»; – точка устранимого разрыва, в которой функция стремится к значению .
Замечание 3. Метод близкой точки требует осторожности. Например, подставив в функцию в качестве число , получим, что , тогда как на самом деле . Дело в том, что между 2 и 2,1 находится корень числителя – число 2,01.
Лучше усложнить вычисления, взяв лишние 0 после запятой – в данном случае можно взять , тогда даёт верный вывод.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 578 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!