Тригонометрические пределы. Первый замечательный предел

ПР13. Найдите тригонометрические пределы простой подстановкой:

1) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Пример 19. Легко видеть, что

а) ;

б) .

Предел помогает, если при вычислении тригонометрических функций получается неопределённость . Оказывается, если при функция , то выполнено приближённое равенство

,

и все 4 функции примерно равны собственному аргументу. Тем самым, если аргумент , указанные функции являются эквивалентными бесконечно малыми (предел их соотношения равен 1).

Так, , , поскольку . Как применить это при вычислении пределов, показано в примерах.

ПР14. Раскройте неопределённость при помощи эквивалентных бесконечно малых величин:

1) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

2) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Пример 20. Если заменить функции собственным аргументом, то

а) ;

б) ;

в) .

ПР15. Раскройте неопределённость при помощи эквивалентных бесконечно малых и тождества :

1) а) ; б) ; в) ; г) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) .

Пример 21.

.

Пример 22.

(учли, что по смыслу задачи , иначе не существует).

При переходе к эквивалентным бесконечно малым следует проявлять осторожность, когда присутствует разность или сумма функций, тем более, если после упрощений получается 0 в числителе или знаменателе:

.

Попытка перейти в числителе к разности приведёт к ошибке: либо решим, что в числителе «чистый» 0, и потому ответ равен 0, либо вовсе зайдём в тупик.