Замечания к решению

а) При вычислениях не играло роли, подставляем мы в конкретную формулу число или . Обычно это важно, когда получается деление на бесконечно малую величину, поскольку влияет на знак бесконечности. Здесь же и отвечают только за выбор функции;

б) как правило, обозначения и равноправны, то же касается обозначений и (и справедливо для любой точки, а не только для ). Дальше для краткости применяются обозначения вида ;

в) когда пределы слева и справа равны, для проверки на непрерывность фактически остаётся посмотреть, будет ли одно из неравенств нестрогим. В примере таковым оказалось 2-е неравенство.

Пример 2. Исследуем на непрерывность функцию .

По тем же причинам, что в примере 1, непрерывность может нарушаться только в точке . Проверим:

а) ;

б) .

Пределы слева и справа равны, но в самой точке функция не определена (неравенства строгие). Это означает, что – точка устранимого разрыва.

«Устранимый разрыв» означает, что достаточно или сделать любое из неравенств нестрогим, или придумать для отдельной точки функцию, значение которой при равно –5, или просто указать, что , чтобы вся функция стала непрерывной.

Ответ: точка – точка устранимого разрыва.

Замечание 1. В литературе устранимый разрыв обычно считается частным случаем разрыва 1-го рода, однако студентами чаще понимается как отдельный тип разрыва. Во избежание разночтений будем придерживаться 1-й точки зрения, а «неустранимый» разрыв 1-го рода оговаривать особо.

Пример 3. Проверим, непрерывна ли функция

В точке

а) ;

б) .

Пределы слева и справа различны: . Независимо от того, определена ли функция при (да) и если да, то чему равна (равна 2), точка – точка неустранимого разрыва 1-го рода.

В точке происходит конечный скачок (от 1 к 2).

Ответ: точка – точка неустранимого разрыва 1-го рода.

Замечание 2. Вместо и обычно пишут и соответственно.

Возможен вопрос: чем отличаются функции

и ,

а также их графики? Правильный ответ:

а) 2-я функция не определена в точке ;

б) на графике 1-й функции точка «закрашена», на графике 2-й – нет («выколотая точка»).

Точка , где обрывается график , не закрашена на обоих графиках.

Сложнее исследовать функции, по-разному определённые на трёх участках.

Пример 4. Непрерывна ли функция ?

Так же, как в примерах 1 – 3, каждая из функций , и непрерывна на всей числовой оси, в том числе – на участке, на котором задана. Разрыв возможен только в точке или (и) в точке , где функция переопределяется.

Задача распадается на 2 подзадачи: исследовать на непрерывность функции

и ,

причём точка не представляет интереса для функции , а точка – для функции .

1-й шаг. Проверяем точку и функцию (индекс не пишем):

а) ;

б) .

Пределы совпадают. По условию, (если пределы слева и справа равны, то фактически функция непрерывна, когда одно и из неравенств нестрогое). Итак, в точке функция непрерывна.

2-й шаг. Проверяем точку и функцию :

а) ;

б) .

Поскольку , точка – точка разрыва 1-го рода, и значение (и то, есть ли оно вообще) уже не играет роли.

Ответ: функция непрерывна во всех точках, кроме точки , где имеет место неустранимый разрыв 1-го рода – скачок от 6 к 4.

Пример 5. Найти точки разрыва функции .

Действуем по той же схеме, что в примере 4.

1-й шаг. Проверяем точку :

а) , поскольку слева от функция постоянна и равна 0;

б) ( – чётная функция).

Пределы совпадают, но при функция по условию не определена, и получается, что – точка устранимого разрыва.

2-й шаг. Проверяем точку :

а) ;

б) – значение функции не зависит от переменной.

Пределы различны: , точка – точка неустранимого разрыва 1-го рода.

Ответ: – точка устранимого разрыва, – точка неустранимого разрыва 1-го рода, в остальных точках функция непрерывна.

Пример 6. Непрерывна ли функция ?

Функция определена при , поэтому условие превращается в условие .

С другой стороны, функция определена при , т.е. при . Значит, условие превращается в условие .

Получается, что должно выполняться условие , и область определения всей функции – отрезок .

Сами по себе функции и элементарны и потому непрерывны во всех точках, в которых определены – в частности, и при .

Остаётся проверить, что происходит в точке :

а) ;

б) .

Поскольку , смотрим, определена ли функция в точке . Да, 1-е неравенство – нестрогое относительно , и этого достаточно.

Ответ: функция определена на отрезке и непрерывна на нём.

Более сложные случаи, когда одна из составляющих функций неэлементарна или не определена в какой-либо точке своего отрезка, выходят за рамки пособия.

НФ1. Постройте графики функций. Обратите внимание, определена ли функция в той точке, в которой переопределяется, и если да – каково значение функции (слово «если» в определении функции для краткости пропущено):

1) а) б) в) г)

2) а) б) в) г)

3) а) б) в) г)

4) а) б) в) г)

Пример 7. Пусть . Тогда на участке строим горизонтальную прямую , а на участке строим горизонтальную прямую . При этом точка с координатами «выколота», а точка «закрашена». В точке получается разрыв 1-го рода («скачок»), и .

НФ2. Исследуйтена непрерывность функции, по-разному определённые на 3-х интервалах. Постройте графики:

1) а) б) в)

г) д) е)

2) а) б) в)

г) д) е)

3) а) б) в)

г) д) е)

Пример 8. Пусть . На участке строим прямую , для чего находим и . Соединяем точки и отрезком. Сами точки не включаем, поскольку при и функция по условию не определена.

На участке и обводим ось OX (на ней ), однако точки и «выколоты». В точке получаем устранимый разрыв, а в точке – разрыв 1-го рода («скачок»).

НФ3. Постройте графики функций и убедитесь в их непрерывности:

1) а) б) в)

г) д) е)

2) а) б) в)

г) д) е)

НФ4. Убедитесь в непрерывности функций и постройте их графики:

1) а) б) в)

2 а) б) в)

3) а) б) в)

НФ5. Постройте графики функций. Обратите внимание на непрерывность:

1) а) б) в)

г) д) е)

2) а) б) в)

г) д) е)

3) а) б) в)

г) д) е)

4) а) б) в)

г) д) е)

5) а) б) в)

г) д) е)

НФ6. Постройте графики разрывных функций. Обратите внимание на значение функции в той точке, где функция переопределяется (и существует ли оно):

1) а) б) в)

г) д) е)

2) а) б) в)

г) д) е)

3) а) б) в)

г) д) е)

4) а) б) в)

г) д) е)

5) а) б) в)

г) д) е)

НФ7. То же задание, что и в НФ6:

1) а) б) в)

г) д) е)

2) а) б) в)

г) д) е)

3) а) б) в)

г) д) е)

4) а) б) в)

г) д) е)