Схема применения 2-го замечательного предела

Пусть при оказалось, что , а . Тогда .

Считаем, что , где при . Тогда

.

Поскольку , то .

Найдём предел , и если он равен числу A, то весь предел равен .

ПР16. Найдите пределы простой подстановкой:

1) а) ; б) ; в) ; г) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) .

Пример 23. .

ПР17. Найдите пределы, воспользовавшись свойствами показательной функции , а именно – её значениями при , когда или :

1) а) ; б) ; в) ; г) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) .

В задании 2 в каждом примере получаются 2 ответа – в зависимости от знака бесконечности.

Пояснение. Если , то и . Если , то и . При зависимость не является функцией (точнее, это функция, разрывная в каждой действительной точке).

Пример 24. Видно, что

.

Тогда, поскольку при величина обращается в 0,

.

Пример 25. Находим

.

Основание , а в этом случае . Поэтому

.

Пример 26. Здесь

.

Но функция – это то же, что . А эта функция стремится к 0 при и обращается в при . Тогда .

ПР18. При помощи 2-го замечательного предела раскройте неопределённость , когда аргумент стремится к бесконечности:

1) а) б) ; в) ; г) ;

2) а) б) ; в) ; г) ;

3) а) ; б) ; в) ; г) ;

4) а) ; б) ; в) ; г) ;

5) а) ; б) ; в) ; г) .

Пример 27. .

Пример 28. Найдём . Представим основание так:

(а лучше сразу заметить, что ).

Тогда .

Но . Поэтому .

ПР19. При помощи 2-го замечательного предела раскройте неопределённость , когда аргумент стремится к 0:

1) а) ; б) ; в) ; г) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) .

Пример 29. Преобразовав степень, получаем

а) ;

б) .

ПР20. Найдите пределы

1) а) ; б) ; в) ; г) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) .

Пример 30. Найдём . Здесь

,

и тогда

.

В степени присутствует , но , поэтому

. Это и есть ответ.

Пример 31. Найдём . Представив , получаем, что .

Теперь находим . Преобразуем показатель степени так:

.

Тогда

Ответ: .