Пределы функций

II. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Пределы функций

«Предел функции» – более общее понятие, чем «значение функции в точке».

Не всегда аргумент можно подставить в формулу функции. Так, функция не имеет смысла в точке , но при получается .

Функция не вычисляется в точке , но при оказывается, что .

В 1-м случае говорят, что предел в точке 0 равен 2: . Во 2-м случае предел в точке равен –3: .

Кроме того, функции не определяются в бесконечности, поскольку такое понятие не выражается числом. Между тем предел в бесконечности находится по стандартным правилам и нередко достаточно просто.

Например, функция при вначале быстро возрастает, однако при бесконечно большом аргументе стремится к 0: .

Также хорошо известно, что функция при .

Для работы необходимо вспомнить, что

а) функции , где , называют основными элементарными;

б) функции, составленные из основных элементарных при помощи конечного числа арифметических операций и суперпозиций (взятия функции от функции), называют элементарными.

Если функция элементарна, то при вычислении , когда – число, вначале пробуют подставить в функцию – найти .

Если результат получается, как обычное значение функции – это и есть ответ. Если функция неэлементарна или при подстановке возникает неопределённость , , применяют разные правила и схемы вычисления пределов.