Предел дробно-рациональной функции в точке

Пусть даны точка и функция , где и – некоторые многочлены. Надо найти .

Найдём и . Полученные числа обозначим соответственно P и Q. Возможны 4 случая:

1) , тогда – это обычное число (не обязательно целое);

2) , тогда ;

3) , тогда ;

4) , тогда и раскладываются на скобки так, что

для всех ,

где – какие-то многочлены (полиномы). Находим и и приходим к одному из случаев 1, 2 или 3.

Проще говоря,

– в 1-м и 2-м случаях предел равен значению функции в точке;

– в 3-м не равен конкретному числу и обозначается символом бесконечности;

– в 4-м случае надо разложить числитель и знаменатель на скобки, сократить одинаковые и подставить число заново.

ПР1. Найдите пределы простой подстановкой:

1) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

3) а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Пример 1. Подстановкой можно найти, что

а) ;

б) ;

в) .

ПР2. Найдите пределы, подставив точку в функцию :

1) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

3) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

4) а) ; б) ; в) ; г) ;

5) а) ; б) ; в) ; г) .

Пример 2. Так же, как в примере 1,

а) ;

б) ;

в) (не !)

ПР3. Подставив точку в функцию , проверьте, что пределы равны 0:

1) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

3) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

4) а) ; б) ; в) ; г) ;

5) а) ; б) ; в) ; г) .

Пример 3. Простая подстановка показывает, что

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

ПР4. Проверьте, что указанные пределы равны бесконечности:

1) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

3) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

4) а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Пример 4. Поскольку знаменатель равен 0, то

а) ;

б) ;

в) .

ПР5. Раскройте неопределённость , разложив дробь на множители-скобки и сократив одинаковые скобки в числителе и в знаменателе:

1) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

3) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

4) а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Замечание 1. Вам понадобятся формулы

; ;

.

Сумма квадратов на действительные множители не раскладывается.

Пример 5.

.

Также можно было вынести за скобки числа 10 и 25 и сократить на .

Замечание 2. Обратите внимание, что попытка подставить число в первоначальную дробь берётся в скобки как приводящая к неопределённости (также заключаемой в скобки). Этим подчёркивается, что арифметическое выражение, взятое в скобки, не имеет смысла и потому не равно самому пределу. В то время как предел равен конкретному числу, что и выясняется при решении.

Замечание 3. Скобки при появлении необычных ситуаций ставят, чтобы отличать последние от бессмысленных выражений. Например,

– деление одной бесконечно малой величины на другую;

– деление числа 1 на бесконечно малую величину;

и – действия или величины, противоречащие основам математики.

Пример 6.

.