Оптимизация непараметрической оценки плотности вероятности типа Розенблатта-Парзена по форме ядерной функции

Примем критерий точности аппроксимации плотности вероятности p(x) оценкой Розенблатта-Парзена в виде (2.4)

,

где - ядерная функция, а - оператор математического ожидания.

При достаточно большом объёме обучающей выборки и при оптимальном значении коэффициента размытости (2.5)

среднеквадратичный критерий представим как функционал от нормы ядерной функции

Причём значение критерия снижается по мере уменьшения .В соответствии с этим появляется возможность оптимизации непараметрической оценки плотности вероятности типа Розенблатта-Парзена по форме ядерных функций путём решения вариационной задачи

,

Система ограничений определяет свойство нормированности Ф(u) и равенства 1 её второго центрального момента, которое использовалось при анализе асимптотических свойств (теорема 2.1).

Методика её решения данной задачи впервые была предложена в работе В.А. Епанечникова.

Для решения сформулированной вариационной задачи составим Лагранжиан, тем самым сведём задачу условной оптимизации к безусловной при критерии

.

Условие минимума определяется уравнением Эйлера

Отсюда оптимальная ядерная функция представляется в виде

где неопределённые множители находятся из ограничений исходной задачи.

Подставим в первое ограничение, получим

, .

Из симметричности ядерной функции следует

,.

Далее, с учётом ограничения

, .

В результате получим уравнения для нахождения параметров .

Решая систему уравнений

получим оптимальную ядерную функцию

.

На этой основе составляем оптимальную (в смысле минимума среднеквадратического критерия) ядерную функцию Епанечникова

(2.10)