Выбор коэффициента размытости из условия минимума оценки квадратического критерия

Рассмотрим статистику, характеризующую меру близости между и ,

.

Чем меньше , тем точнее оценка аппроксимирует .

Проведём несложные преобразования

.

Третье слагаемое не зависит от коэффициента размытости и является константой, поэтому не влияет на положение минимума .

Тогда критерий оптимальности принимает вид

.

Заметим, что второе слагаемое представляет собой математическое ожидание функции , которое можно оценить по исходной выборке

.

В результате критерий оптимизации (оценка меры близости ) по принимает вид

. (2.6)

В одномерном случае первое слагаемое (2.6) записывается в виде

.

Его значение вычисляется в соответствии со следующими ситуациями:

Рис. 2.8. Соотношения между ядерными функциями для варианта .

Рис. 2.9. Соотношения между ядерными функциями для варианта

Приведём правило вычисления интеграла

Второе слагаемое представляется выражением

.

Здесь для устранения смещения анализируемой статистики необходимо принять условие .

Примеры зависимости оценки (2.6) от коэффициента размытости и объёма выборки представлены на рис. 2.10-2.11.

Рис. 2.10. Зависимость критерия (2.6) от коэффициента размытости для нормального закона распределения случайной величины в интервале . Кривая 1 соответствует объёму выборки , кривая 2 – , Кривая 3 - .

Рис. 2.11. Зависимость критерия (2.6) от коэффициента размытости для равномерного закона распределения случайной величины в интервале . Кривая 1 соответствует объёму выборки , кривая 2 - , кривая 2 – , Кривая 3 - .