Доказательство. 1. Асимптотическая несмещённость , при которой

1. Асимптотическая несмещённость , при которой

.

В соответствии со свойством математического ожидания

.

Подставим вместо оценку типа Розенблатта-Парзена

.

Представим математическое ожидание в интегральной форме

.

Так как наблюдения одной и той же случайной величины, то .

Поэтому

.

Значения не зависят от индекса суммы, что позволяет вынести их за знак суммы. В результате получим

.

Проведём замену переменных в последнем выражении

.

Изменим пределы интегрирования

.

В итоге получим

.

Разложим в ряд Тейлора в точке . После очевидных преобразований имеем

.

Здесь , - первая и вторая производная .

Рассмотрим отдельные части последнего выражения:

, так как ;

, так как . Последнее следует из свойства симметричности ядерной функции. Например, для ядерной функции типа ступеньки имеем .

Примем , тогда

.

Отсюда, при следует свойство асимптотической несмещённости , т.е.

.

2. Сходимость в среднеквадратическом

.