Проверка статистических гипотез о тождественности законов распределения случайных величин на основе критерия Смирнова – Колмогорова

Традиционные подходы проверки статистических гипотез в основном ориентированы на нормальный закон распределения генеральных совокупностей, что ограничивает сферу их применения. Идея методики Смирнова – Колмогорова позволяет обойти эту проблему и принимать решение на основе близости эмпирических оценок функций распределения произвольных законов распределения, что обеспечивает универсальность рассматриваемых алгоритмов.

Пусть и – две генеральные совокупности с произвольными законами распределения. Необходимо по независимым выборкам и , извлечённых из данных генеральных совокупностей, проверить гипотезу о тождественности законов распределения

.

Методика проверки гипотезы:

1. Построить эмпирические функции распределения и по исходным выборкам и .

, где

, где

2. Найти максимальное расхождение между эмпирическими функциями распределения

.

Рис. 1.9. Иллюстрация к методике проверки гипотезы

3. Сравнить полученное максимальное расхождение с пороговым в соответствии с критерием Смирнова

, (1.15)

где – принятый уровень доверия (риск отвергнуть гипотезу , например, ).

Если выполняется условие , тогда гипотеза справедлива, иначе эмпирические законы распределения различаются значимо.

Рассмотренный критерий Смирнова обобщает критерий Колмогорова при проверке гипотезы о тождественности закона распределения и некоторого теоретического (эталонное распределение)

.

Пусть теоретическое распределение представлено в виде полинома , где его коэффициенты. Эмпирическая функция распределения восстанавливается по выборке , извлечённой из генеральной совокупности .

Схема действий аналогична проверке гипотезы критерием Смирнова.

Найти максимальное расхождение между эмпирической функцией распределения и теоретической

.

Сравнить полученный результат с пороговым значением

, (1.16)

которое следует из выражения (1.15) при .

Если выполняется условие , тогда справедлива гипотеза , иначе эмпирический закон распределения не соответствует теоретическому.

Литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1999. – 479 с.

2. Солодовников А.С. Теория вероятностей: Учеб пособие. – М.: Вербум-М, 1999. – 208 с.

3. Горяинов В.Б, Павлов И.В., Цветкова Г.М.. и др. Математическая статистика: Учеб. пособие. – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 424 с.

4. Лапко В.А., Соколов М.И. Непараметрические методы обработки данных: Учеб. пособие. – Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2001. – 116 с.

Дополнительная литература

1. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.: Наука, 1974. – 120 с.

2. Айвазян СА., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 363 c.

3. Калинина Н.В., Панкин В.Ф. Математическая статистика: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 2001. – 336с.

4. Ермолаев О.Ю. Математическая статистика для психологов: Учебник. – М.: Флинта, 2004. – 336 с.

Контрольные вопросы

1. В чём состоит отличие дискретных и непрерывных случайных величин?

2. Запишите выражения математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин.

3. Запишите формулы, определяющее математическое ожидание и дисперсию непрерывных случайных величин.

4. Приведите основные свойства математического ожидания и дисперсии случайных величин.

5. Как связаны дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины?

6. Дайте определение функции распределения случайной величины и её плотности вероятности.

7. Приведите формулы оценивания математического ожидания и дисперсии случайных величин по статистической выборке их наблюдений.

8. Чем отличается плотность вероятности случайной величины от её функции распределения?

9. Определите математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределённой с равномерным законом на интервале .

10. Определите математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределённой на интервале с линейным законом.

11. Сформулируйте постановку задачи проверки гипотезы о тождественности двух эмпирических законов распределения.

12. Сформулируйте постановку задачи проверки гипотезы о тождественности эмпирического и теоретического законов распределения.

13. Чем отличается критерий Смирнова от критерия Колмогорова?

14. Дайте определение риска проверки гипотезы в критериях Смирнова и Колмогорова?