Преобразуем выражение

Рассмотрим отдельно каждое слагаемое:

;

;

.

Двойную сумму в последнем выражении можно представить в виде

Рассмотрим последовательно второе и первое их слагаемые

Так как - статистически независимые наблюдения, то . Тогда последнее выражение представляется в виде

.

Так как наблюдения одной и той же случайной величины, то . Поэтому

.

Вынесем выражение

за знак суммы, как не зависящее от , получим

.

При выражение . Тогда второе слагаемое окончательно примет вид

.

По аналогии преобразуем первое слагаемое

.

Так как , то проводя замену переменных , получим

.

Разложим в ряд Тейлора в точке

.

Последнее выражение при и принимает вид

.

В итоге условия сходимости в среднеквадратическом следуют из анализа выражения

.

Для определения условий сходимости на всей области изменения проинтегрируем полученное асимптотическое выражение

, (2.4)

где .

Заметим, что величина критерия (2.4) представляет собой меру близости между искомой плотностью вероятностей и её оценкой и при конечном объёме выборки в основном зависит от коэффициента размытости и ядерной функции . Причём зависимость величины критерия (2.4) от коэффициента размытости имеет экстремум.

Для определения минимума критерия (2.4) по коэффициенту размытости найдём его производную по и приравниваем её к нулю

.

Отсюда

,

.

Тогда оптимальный коэффициент размытости принимает вид

. (2.5)

При решении прикладных задач полученным аналитическим выражением (2.5) для определения воспользоваться нельзя, т.к. информация об второй производной искомой плотности вероятности неизвестна.

Теоретическая значимость полученного результата (2.5) состоит в том, что подтверждается предположение пункта 3 теоремы 2.1

.

3. Состоятельность оценки плотности следует из условия равенства её дисперсии нулю, т.е.

.

Если является асимптотически несмещённой оценкой и сходится в среднеквадратическом, то она обладает свойством состоятельности. Для доказательства запишем выражение дисперсии

Введём критерий

.

Рассмотрим второе слагаемое полученного выражения

.

Далее, с учётом свойства математического ожидания, имеем

.

Тогда дисперсия представляется в виде

,

где первый член разности определяет сходимость в среднеквадратическом

,

а второй - асимптотическую несмещённость

.

Из результатов теоремы 2.1. сформируем ограничения, налагаемые на ядерную функцию и будем называть их в дальнейшем условиями регулярности :

, ,

, ,

.