Семестр 2 страница

Пример 11. Разложить в ряд Тейлора при функцию

Разложение в степенной ряд допускает почленное интегрирование и дифференцирование.

Пример 12. Разложить в ряд Тейлора в окрестности функцию .

Разложим в ряд производную данной функции , воспользовавшись табличным разложением для функции

.

Проинтегрировав общий член полученного ряда, и, учитывая, что y(0)=0, получим искомое разложение:

Лекция 7. Измеримые множества.

План:

1. Объем в n-мерном евклидовом пространстве

2. Множество меры нуль.

3. Измеримые множества.

Ключевые слова: мера множества, нулевая мера, измеримость множеств.

Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью Oxy, поверхностью, с которой любая прямая, параллельная оси Oz, пересекается не более чем в одной точке, и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz.

Область D, высекаемая в плоскости Oxy цилиндрической поверхностью, называется основанием цилиндрического тела (см. рис.). В частных случаях боковая цилиндрическая поверхность может и отсутствовать; примером тому служит тело, ограниченное плоскостью Oxy и верхней полусферой .

Обычно тело можно составить из некоторого числа цилиндрических тел и определить искомый объект как сумму объёмов цилиндрических тел, составляющих это тело.

Прежде всего напомним два принципа, из которых мы исходим при определении объёма тела:

1) если разбить тело на части, то его объём будет равен сумме объёмов всех частей;

2) объём прямого цилиндра, т.е. цилиндрического тела, ограниченного плоскостью, параллельной плоскости Oxy, равен площади основания, умноженной на высоту тела.

Пусть есть уравнение поверхности, ограничивающей цилиндрическое тело. Будем считать функцию непрерывной в области D и сначала предположим, что поверхность целиком лежит над плоскостью Oxy, т.е. что всюду в области D.

Рис.

Обозначим искомый объем цилиндрического тела через V, Разобьем основание цилиндрического тела - область D - на неко­торое число n областей произвольной формы; будем называть их частич­ными областями. Пронумеровав частичные области в каком-нибудь порядке, обозначим их через а их площади - через . Через границу каждой частичной области проведем цилинд­рическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Эти цилиндри­ческие поверхности разрежут поверх­ность на n кусков, соответствующих n частичным областям. Таким образом, цилиндрическое тело окажется разби­тым на n частичных цилиндрических тел (см.рис.). Выберем в каждой частичной области произвольную точку и заменим соответствующее частичное цилиндрическое тело прямым цилинд­ром с тем же основанием и высотой, равной . В ре­зультате получим n-ступенчатое тело, объем которого равен

Принимая объем V данного цилиндрического тела приближенно равным объему построенного n-ступенчатого тела, будем считать, что V_n тем точнее выражает V, чем больше n и чем меньше каждая из частичных областей. Переходя к пределу при мы будем требовать, чтобы не только площадь каждой частичной области стремилась к нулю, но чтобы стремились к нулю все ее размеры. Если назвать диаметром области наибольшее расстояние между точками ее границы (Например, диаметр прямоугольника равен его диагонали, диаметр эллипса—его большой оси. Для круга приведенное определение диаметра равносильно обычному.), то высказанное требование будет означать, что каждый из диаметров частичных областей должен стремиться к нулю; при этом сами области будут стягиваться в точку (Если известно только, что площадь области стремится к нулю, то эта область может и не стягиваться в точку. Например, площадь прямо­угольника с постоянным основанием и высотой, стремящейся к нулю, стремится к нулю, а прямоугольник стягивается к своему основанию, т. е. к отрезку).

Лекция 8. Кратный интеграл Римана..

План:

1. Кратный интеграл Римана.

2. Существование кратного интеграла и его свойства.

Ключевые слова: интеграл, повторный интеграл, интеграл Римана.

Пусть есть уравнение поверхности, ограничивающей цилиндрическое тело.

Цилиндрическое тело разби­ваем на n частичных цилиндрических тел. Выберем

в каждой частичной области произвольную точку и заменим соответствующее частичное цилиндрическое тело прямым цилинд­ром с тем же основанием и высотой, равной . В ре­зультате получим n-ступенчатое тело, объем которого равен

Объем V тела примем равным пределу, к которому стремится Vn при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей (при этом ):

К отысканию предела подобных сумм для функций двух перемен­ных приводят самые разнообразные задачи, а не только задача об объеме.

Рассмотрим этот вопрос в общем виде. Пусть - любая функция двух переменных (не обязательно положительная), не­прерывная в некоторой области D, ограниченной замкнутой линией. Разобьем область D на частичные, как указано выше, выберем в каждой частичной области по произвольной точке и составим сумму

(*)

где - значение функции в точке ; и , - площадь ча­стичной области.

Сумма (*) называется n -й интегральной суммой для функции в области D, соответствующей данному разбиению этой области на n частичных областей.

Определение. Двойным интегралом от функции по области D называется предел, к которому стремится n-я интегральная сумма (*) при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей.

­Записывается это так:

Читается: «двойной интеграл от на по области D». Выражение , показывающее вид суммируемых слагаемых, называется подынтегральным выражением; функция назы­вается подынтегральной функцией, - элементом площади, об­ласть D - областью интегрирования, наконец, переменные x и у на­зываются переменными интегрирования.

Таким образом, можно сказать, что объем цилиндрического тела, ограниченного плоскостью Oxy, поверхностью и цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz, выражается двойным интегралом от функции , взятым по области, являющейся основанием цилиндрического тела:

.

Аналогично теореме существования обыкновенного интеграла имеет место следующая теорема.

Теорема существования двойного интеграла.

Если функция непрерывна в области D, ограниченной замкнутой линией, то её n-я интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей. Этот предел, т.е. двойной интеграл , не зависит от способа разбиения области D на частичные области и от выбора в них точек P_i.

Двойной интеграл, разумеется, представляет собой число, зависящее только от подынтегральной функции и области интегрирования и вовсе не зависящее от обозначений переменных интегрирования, так что, например,

Лекция 9. Сведение кратного интеграла к повторному.

План:

1. Сведение кратного интеграла к повторному в прямоугольной области.

2. Сведение кратного интеграла к повторному в общем случае.

Ключевые слова: область, прямоугольник, повторный интеграл.

При вычислении двойного интеграла элемент площади нам удобно представить в ином виде. Будем разбивать область интегрирования D в плоскости Oxy на частичные области посредством двух систем координатных линий: x=const, y=const. Этими линиями служат прямые, параллельные соответственно оси Oy и оси Ox, а частичными областями - прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат. Ясно, что площадь каждой частичной области будет равна произведению соответствующих и . Поэтому элемент площади мы запишем в виде т.е. элемент площади в декартовых координатах является произведением дифференциалов независимых переменных. Мы имеем

. (*)

При вычислении двойного интеграла (*) мы будем опираться на тот факт, что он выражает объём V цилиндрического тела с основанием D, ограниченного поверхностью . Напомним, что мы уже занимались задачей об объёме тела, когда рассматривали применения определённого интеграла к задачам геометрии и получили формулу

(**)

где S (х) - площадь поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси абсцисс, а и - уравнения плоскостей, ограничивающих тело. Применим теперь эту формулу к вычислению двойного интеграла

Имея в виду, что и заменяя в формуле (**) S(x) её выражением, окончательно получим

или в более удобной форме

(А)

Пределы внутреннего интеграла переменные; они указывают границы изменения переменной интегрирования у при постоянном значении второго аргумента х. Пределы внешнего интеграла постоянны; они указывают границы, в которых может изменяться аргумент х.

Меняя роли х и у, т. е. рассматривая сечения тела плоскостями y=const , мы найдем сначала, что площадь Q(у) такого сечения равна , где у при интегрировании считается величиной постоянной. Интегрируя затем Q(у) в пределах измене­ния у, т. е. от c до d, мы придем ко второму выражению для двойного интеграла

(Б)

Формулы (А) и (Б) показывают, что вычисление двойного ин­теграла сводится к последовательному вычислению двух обыкно­венных определенных интегралов; нужно только помнить, что во внутреннем интеграле одна из переменных принимается при интегрировании за постоянную. Для краткости правые части фор­мул (А) и (Б) называют повторными (или двукратными) интегра­лами, а сам процесс расстановки пределов интегрирования - при­ведением двойного интеграла к повторному

Лекция 10. Замена переменных в кратном интеграле.

План:

1. Криволинейные координаты.

2. Полярные, сферические, цилиндрические координаты.

3. Замена переменных в кратном интегралах

Ключевые слова: элемент площади, замена переменных, полярные координаты, сферические координаты.

Цилиндрические координаты.

Отнесём область к системе цилиндрических координат , в которой положение точки M в пространстве определяется полярными координатами ее проекции Р на плос­кость Oxy и ее аппликатой (z). Выбирая взаимное распо­ложение осей координат, уста­новим связь между декарто­выми и цилиндрическими ко­ординатами точки М, именно:

(*)

Разобьем область на частичные области тремя системами координатных поверхностей: которыми будут соответственно круговые цилиндрические поверхности, осью кото­рых является ось Оz, полуплоскости, проходящие через ось Оz, и плоскости, параллельные плоскости Оху. Частичными областями служат прямые цилиндры. Так как объем цилиндра MN равен площади основания, умноженной на высоту, то для элемента объема получаем выражение

Преобразование тройного интеграла к цилиндрическим координатам производится совершенно аналогично преобра­зованию двойного интеграла к полярным. Для этого нужно в вы­ражении подынтегральной функции переменные x, y, z заменить по формулам (*) и взять элемент объёма равным

Получим

Если, в частности, то интеграл выражает объём V области

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах приводится к интегрированиям по r, по и по z на основании тех же принципов, что и в случае декартовых координат. В част­ности, если областью интегрирования служит внутренность ци­линдра то пределы трехкратного интеграла постоянны и не меняются при перемене порядка интегрирования:

Сферические координаты.

Отнесём теперь область интегрирования к системе сферических координат . В этой системе координат положение точки M в пространстве определяется её расстоянием r от начала координат (длина радиуса-вектора точки), углом между радиусом-вектором точки и осью Oz и углом между проекцией радиуса вектора точки на плоскость Oxy и осью Ox. При этом может изменятся то 0 до а - от 0 до .

Связь между сферическими и декартовыми координатами легко устанавливается:

Отсюда

(**)

Разобьем область на частичные области , тремя системами координатных поверхностей: которыми будут соответственно сферы с центром в на­чале координат, полуплоскости, проходящие, через ось Оz, и конусы с вершиной в начале координат и с осями, совпада­ющими с одной из полуосей Оz. Частичными областями служат «шестигранники». От­бросив бесконечно малые высших порядков, будем рассматривать шестигранник MN как прямоу­гольный параллелепипед с изме­рениями, равными: по направ­лению полярного радиуса, по направлению меридиана, по направлению параллели. Для элемента объема мы получим тогда выражение

Заменив в тройном интеграле по формулам (**) и взяв элемент объема равным полученному выражению, будем иметь

Особенно удобно применение сферических координат в случае, когда область интегрирование - шар с центром в начале коор­динат или шаровое кольцо. Например, в последнем случае, если радиус внутреннего шара , а внешнего , пределы интегриро­вания следует расставить так:

Если - шар, то нужно положить

Пусть нам необходимо вычислить двойной интеграл по некоторой области D. Для возможного упрощения вычислений сделаем замену переменных , переходя от «старых» переменных x, y к «новым» переменным x, h. В дальнейшем будем предполагать, что и непрерывны и имеют непрерывные частные производные по x и h. Кроме того, предполагается, что эта система может быть однозначно разрешена относительно x и h: , то есть соответствие взаимно однозначное.

Рис. 9.6 Соответствие областей D и D

Тогда система каждой точке ставит в соответствие точку на плоскости x O h, и это соответствие взаимно однозначное. Тем самым область D отображается в некоторую область D на плоскости x O h.

Сама формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид

,

где величина равна

.

Она называется якобианомпереходаот переменных x, y к переменным x, h.

Лекция 11. Криволинейные интегралы первого рода

План:

1. Криволинейные интегралы первого рода и их свойства,

2. Сведение криволинейного интеграла к определенному

Ключевые слова: криволинейный интеграл, определенный интеграл, путь, независимость от пути.

Пусть L = АВ - незамкнутая кривая в плоскости хОу с концевыми точками А, В; z=f (x, y) - функция, определенная на кривой L. Разобьем кривую L последовательными точками

А ₀ =А, А ₁, А ₂,..., А _n =В

на дуги d ₁= А ₀ А ₁, d ₂= А ₁ А ₂,..., d _n= А _n-1 А _n.

На дуге d_i выберем произвольную точку М_i (t_i, s_i) (i = 1,2,..., n). Обозначим D l_i длину дуги d_i, а .

Составим интегральную сумму функции f (x, y) по кривой L

Определение. Предел , если он существует, называется криволинейным интегралом 1 -го рода от функции f (x, y) по кривой L и обозначается

В случае замкнутой кривой L выбирается произвольная точка на кривой, которая принимается за концевые точки А, В,и криволинейный интеграл 1-го рода определяется аналогично случаю незамкнутой кривой.

Теорема (достаточное условие существования интеграла). Если функция f (x, y) непрерывна на кривой L за исключением, быть может, конечного числа точек и ограничена на L, то криволинейный интеграл 1-го рода (20) существует.

Некоторые свойства криволинейного интеграла 1-го рода. Для криволинейных интегралов 1-го рода выполняются свойства линейности и аддитивности (см. аналогичные свойства для тройного интеграла в п. 10).

1) ½ L ½= , где ½ L ½- длина кривой L.

2) Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от ориентации кривой L. Это значит, что интеграл не зависит от того, какая из концевых точек А и В является начальной точкой кривой.

Физический смысл криволинейного интеграла 1-го рода. Пусть L - кривая с линейной плотностью массы m (х, у). Тогда масса кривой равна

Замечание. Криволинейный интеграл 1-го рода аналогично определяется и для пространственной кривой.

Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

x = j (t), y=y (t), a ≤ t ≤ b,

где j (t), y (t) - непрерывно дифференцируемые на отрезке [ a, b ] функции. Тогда

.

Пусть кривая L задана явно уравнением

y=g (x), a ≤ x ≤ b,

где g (x) - непрерывно дифференцируемая на [ a, b ] функция. Тогда

.

Определение.Криволинейным интегралом по линии L называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего частичного участка разбиения кривой L.

Линия L называется линией или контуром интегрирования.

Если вместе со своими производными непрерывна, то такая кривая называется плоской.

Пусть на плоскости ХОУ задана плоская или кусочно-плоская кривая АВ и пусть точка М будет ее переменной точкой. На этой кривой обозначим определенную функцию через . Кривую АВ делим произвольными точками на части и на каждой из этих частей находим точки . Длину дуги обазначим и считая , рассмотрим следующую сумму: