Замена переменных в определенном интеграле

Теорема. Пусть

1. f (x) интегрируема на [ a, b ];

2. j(t) монотонно возрастает и j(a)= a,)b(j= b;

3. .

Тогда

.

5.7 Определенный интеграл как функция верхнего предела

Обратите внимание на то, что

1. это функция от х, а это число.

2. Значение определенного интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования, то есть

.

Однако если сделать пределы интегрирования переменными, мы получим уже функцию этих пределов.

Рассмотрим свойства функции от х

.

Теорема 1. Пусть f (x) интегрируема на [ a, b ]. Тогда F (x) есть непрерывная функция на [ a, b ].

Теорема 2. Если f (x) непрерывна на [ a, b ], то существует и .

Таким образом, у каждой непрерывной функции существует первообразная.

Аналогичными свойствами обладает и , только для нее

Лекция 10. Приложение определенного интеграла.

План:

1. Приложение определенного интеграла.
2. Вычисление площадей в прямоугольных координатах.
3. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.

Ключевые слова: площадь фигуры, объем тела, длина дуги кривой.

Определение длины дуги.

Пусть на плоскости задана некоторая кривая АВ. Прежде всего надо описать ее математически. Самым общим заданием плоской кривой считается ее параметрическое задание, когда кривая задается системой

.

Разобьем отрезок на части

,

и пусть . Тогда вся кривая АВ разобьется на кусочки точками М_i,

Соединим точки отрезками прямых, и пусть l_i есть длина отрезка прямой, соединяющей точки M_i и M_{i +1}. Найдем периметр вписанной ломаной

.

Если существует и этот предел не зависит от способа разбиения отрезка на кусочки, то он называется длиной дуги кривой АВ.

Вычисление длины дуги.

Теорема. Пусть функции x (t) и y (t) имеют на отрезке непрерывные производные и . Тогда длина дуги кривой

.

Частные случаи.

1. Явное задание кривой. В этом случае кривая задается в виде , , и длина ее дуги равна

.

2. Кривая в полярных координатах. Уравнение кривой имеет в этом случае вид и длина ее дуги равна

.

Длина дуги пространственной кривой.

В трехмерном пространстве кривая задается в виде и длина ее дуги равна

.

Площадь криволинейного сектора равна

.

Объем и поверхность тела вращения.

Пусть на плоскости дана кривая, заданная параметрически

,

и это кривая вращается вокруг оси ОХ. Получающееся тело носит название тела вращения. Оно напоминает бочку

Его объем равен

,

а боковая поверхность равна

.

Если кривая задана явно , то соответствующие выражения принимают вид

,

Теорема. Пусть на отрезке заданы непрерывные функции и такие, что . Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми и , на отрезке вычисляется по формуле

Лекция 11. Несобственные интегралы 1-го рода.

План: