Семестр 1 страница

Лекция 1. Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов.

План:

1. Числовые ряды.

2. Свойства сходящихся рядов.

3. Критерий Коши сходимости ряда.

4. Сходимость положительных рядов. Сравнение рядов.

Ключевые слова: ряд, частичная сумма, сходимость ряда, сумма ряда.

Пусть задана бесконечная последовательность вещественных чисел . Построим последовательность

…

и рассмотрим предел этой последовательности

.

Он называется числовым рядом, или просто рядом. Если этот предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, или, что ряд существует. Если этот предел равен бесконечности или вообще не существует, то говорят, что ряд расходится, или, что ряд не существует.

Величины A_n называются частными суммами ряда. Слагаемое a_n называется общим членом ряда. Ряды называются остатком ряда после n -го слагаемого.

Простейшие свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда. Отсюда следует, что изменение или выбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.

2. Если ряд сходится, то .

3. Если ряд сходится, то сходится ряд и имеет место равенство

.

4. Если ряды и сходятся, то сходится и ряд имеет место равенство

.

5. Если ряд сходится, то .

Отсюда следует

Признак расходимости ряда. Если , то ряд расходится.

Рассмотрим два ряда - и , которые будут называться «ряд А» и «ряд В» соответственно. Считается что все их слагаемые положительны, то есть .

Теорема 1. Если, начиная с некоторого N, имеет место неравенство , то из сходимости ряда В следует сходимость ряда А, а из расходимости ряда А следует расходимость ряда В.

Теорема 2. Пусть существует

.

Тогда ряды А и В либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Теорема 3. Если, начиная с некоторого N, имеет место неравенство

,

то из сходимости ряда В следует сходимость ряда А, а из расходимости ряда А следует расходимость ряда В.

Лекция 2. Признаки сходимости положительных рядов

План:

1. Признак сходимости положительных рядов Коши,

2. Признак сходимости положительных рядов Даламбера,

3. Признак сходимости положительных рядов Раабе.

Ключевые слова: положительный ряд, признаки сходимости.

Пусть дан ряд все слагаемые которого положительны .

Признак Коши. Пусть существует . Тогда

если , то ряд сходится;

если , то ряд расходится;

если , то о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя.

Признак Даламбера. Пусть существует . Тогда

если , то ряд сходится;

если , то ряд расходится;

если , то о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя.

Пусть f (x) – некоторая функция, определенная на интервале [1, ¥). В этом разделе рассматриваются ряды вида , то есть ряды со слагаемыми вида .

Интегральный признак Коши. Пусть при x ®¥ функция f (x) монотонно убывает до нуля, то есть . Тогда ряд сходится или расходится одновременно с интегралом .

Дополнительные формулы.

1. Пусть ряд сходится. Тогда для его остатка имеет место следующая оценка

.

2. Пусть ряд расходится, то есть . Тогда для его частных сумм имеет место представление

,

где C – некоторая константа, а .

3) Если , начиная с некоторого и ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится, а если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

В качестве рядов для сравнения удобно рассматривать:

а) геометрическую прогрессию , , сходящуюся при и расходящуюся при ;

б) гармонический ряд , который расходится;

в) ряд Дирихле , сходящийся при и расходящийся, при p<1 (что доказывается с помощью интегрального признака Коши).

4) Если существует конечный и отличный от нуля предел (в частности, , то ряды (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно

В качестве характерных ошибок следует отметить, что иногда сразу пытаются пользоваться каким-либо из достаточных признаков сходимости ряда, не проверив необходимого признака сходимости, например, при исследовании на сходимость ряда:

Пример.

При исследовании этого ряда пытаются сразу применить радикальный признак Коши, не проверив, выполняется ли необходимый признак сходимости.

Исследуем ряд на сходимость:

.

Таким образом, не выполнен необходимый признак сходства ряда, следовательно, все другие исследования лишены смысла, ряд расходится.

Лекция 3. Знакопеременные ряды.

План:

1. Знакопеременные ряды.

2. Абсолютная и условная сходимость.

3. Признак Лейбница.

4. Теорема Римана. Признаки сходимости Дирихле и Абеля.

5. Бесконечные произведения. Сходимость бесконечных произведений.

Ключевые слова: знакопеременный ряд, условная сходимость, Лейбниц, Риман, Дирихле, Абель.

Пусть . Рассмотрим ряды вида

.

Они называются знакопеременными рядами.

Признак Лейбница. Если при , то ряд сходится.

Для этого случая имеет место следующая оценка остатка ряда

,

то есть остаток ряда меньше первого отброшенного слагаемого.

7.6 Ряды со слагаемыми произвольного знака

Пусть теперь отдельные слагаемые ряда имеют произвольный знак.

Теорема. Если ряд сходится, то ряд также сходится.

Определение. Если ряд сходится, то ряд называется абсолютно сходящимся. Если ряд сходится, а , то ряд называется неабсолютно сходящимся.

Признак Дирихле. Пусть все частные суммы ряда ограничены (то есть ), а при . Тогда ряд сходится.

Следствие. Если при , то сходятся ряды и (последний при ).

Пусть дан ряд

,

который мы будем называть «ряд А» и ряд

,

который мы будем называть «ряд ». Он отличается от ряда А тем, что в нем слагаемые объединены в группы, что проявляется в том, что они заключены в скобки.

Теорема. Если ряд А сходится, то ряд тоже сходится и имеет ту же сумму.

Однако важно помнить следующее:

1. Обратная операция – раскрытие скобок - вообще говоря, незаконна, так как из сходящегося ряда может получиться ряд расходящийся. Например, раскрывая скобки в ряде

(1–1)+(1–1)+(1–1)+…

мы получим расходящийся ряд

1–1+1–1+1–1±…

Раскрывать скобки можно лишь тогда, когда доказано, что получающийся после раскрытия скобок ряд сходится.

2. Это свойство неверно для расходящихся рядов, то есть при объединении слагаемых в группы может получиться сходящийся ряд, и его сумма может быть разной. Например, в расходящемся ряде

1–1+1–1+1–1±…

можно объединить слагаемые в группы так

(1–1)+(1–1)+(1–1)+…=0

и получающийся ряд будет иметь сумму 0. Если же объединить слагаемые в группы так

1–(1–1)–(1–1)–(1–1)–… =1

то получающийся ряд будет иметь сумму 1.

Рассмотрим ряд

,

который мы будем называть «ряд А».

Пусть есть некоторая перестановка из чисел , в которой переставлено бесконечно много чисел. Рассмотрим ряд

,

который мы будем называть «ряд ».

Теорема. Если ряд А абсолютно сходится, то ряд также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.

Теорема Римана. Если ряд А сходится неабсолютно, то, какое бы ни взять число В (конечное, или равное ¥±) можно так переставить слагаемые в ряде А, что его сумма станет равна В.

Таким образом, в неабсолютно сходящемся ряде перестановка бесконечного числа слагаемых недопустима.

Лекция 4 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.

План:

1. Функциональные последовательности и ряды.

2. Равномерная сходимость.

3. Признаки Вейерштрасса, Дирихле, Абеля равномерной сходимости.

4. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей.

Ключевые слова: функция, рячд из функций, Вейерштрасс, Дирихле, Абель.

Пусть – функции комплексной переменной z. Ряд

носит название функционального ряда.

Для функциональных рядов вида можно найти область сходимости, т.е. множество значений х, при подстановке каждого из которых в полученный числовой ряд будет сходящимся.

Для определения области сходимости можно воспользоваться признаком Даламбера, т.е. найти .

В таком случае значения х, принадлежащие области сходимости, являются решениями неравенства |f(x)|<1. Так как при |f(x)|=1 признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости числового ряда, решения уравнения |f(x)| =1 нужно рассматривать отдельно.

Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости.

Пусть сказано «функциональный ряд сходится в области G». Что это значит? Это значит, что он сходится в каждой точке этой области, то есть

.

Самым неприятным является тут то, что зависит не только от e, но и от z. Из-за этой зависимости ряд может иметь очень неприятные свойства. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда.

Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

.

Обратите внимание на то, куда переместился квантор и на то, что теперь зависит только от e.

Равномерно сходящиеся ряды обладают очень хорошими свойствами, которые будут описаны ниже.

Признак Вейерштрасса. Если существуют такие неотрицательные числа , что

1. , ;

2. ,

то ряд сходится равномерно в области G.

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов

Не давая точных формулировок, перечислим свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

1. Если все непрерывны в области G, то сумма ряда есть также непрерывная области G функция.

2. Если все аналитичны в области G, то сумма ряда есть также аналитическая в области G функция.

3. Если ряд сходится равномерно в области G, то в нем допустим почленный переход к пределу, то есть

.

4. Если ряд сходится равномерно в области G, то его можно почленно интегрировать, то есть

.

5. Если ряд сходится равномерно в области G, то его можно почленно дифференцировать любое число раз, то есть

Лекция 5. Степенные ряды..

План:

1. Степенные ряды.

2. Радиус и круг сходимости.

3. Теорема Абеля.

4. Формула Коши – Адамара.

Ключевые слова: Степенной ряд, радиус, круг сходимости, Коши – Адамар.

Рассмотрим теперь важнейший частный случай функционального ряда – так называемый степенной ряд. Он получается, когда и имеет вид

.

Здесь а и - комплексные числа.

Прежде всего, выясним вопрос об области сходимости степенного ряда.

Теорема. Для всякого степенного ряда существует такое число , что степенной ряд сходится при и расходится при .

Таким образом, область сходимости степенного ряда есть круг с центром в точке а радиуса R, который называется кругом сходимости (см. рис 11.1). Число R называется радиусом сходимости ряда.

Отметим еще, что общего ответа на вопрос о сходимости степенного ряда на границе круга сходимости, то есть при , дать нельзя. В каждом конкретном случае этот вопрос надо рассматривать отдельно.

Заметьте еще, что при R= 0 степенной ряд сходится только в точке z = a; при R= +¥ степенной ряд сходится на всей плоскости.

Важнейшая характеристика степенного ряда – его радиус сходимости – находится одним из следующих способов.

1. Если существует , то .

2. Если существует , то .

3. Пусть . Тогда . Эта формула носит название формулы Коши-Адамара и она работает всегда.

Тогда областью сходимости степенного ряда будет интервал .

На любом отрезке , целиком принадлежащем интервалу сходимости , функция является непрерывной, а следовательно, степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке.

Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать. При этом после интегрирования или дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости .

Ниже перечислены основные свойства суммы степенного ряда.

1. Для любого степенной ряд сходится равномерно в круге .

Примечание. r может быть сколь угодно близко к R, но r ¹ R!

2. В круге сумма степенного ряда есть непрерывная функция от z.

3. При почленном интегрировании и дифференцировании радиус сходимости степенного ряда не меняется.

4. В круге степенной ряд можно почленно интегрировать любое число раз.

5. В круге степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз.

Теорема Абеля. 1). Если степенной ряд сходится при значении (отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях таких, что . 2). Если степенной ряд расходится при , то он расходится при всех значениях таких, что .

Частный случай функциональных рядов представляют степенные ряды вида , где . Область сходимости такого ряда представляет собой интервал (), возможно, включающий границы.

Лекция 6. Ряды Тейлора..

План:

1. Ряды Тейлора.

2. Основные разложения элементарных функций

Ключевые слова: окрестность точки, особая точка, разложение по степеням.

Теорема 1. Пусть является аналитической функцией в круге . Тогда внутри этого круга она может быть представлена в виде ряда

,

который сходится равномерно в любом круге .

Этот ряд называется рядом Тейлора функции .

Теорема 2. Любой степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы.

Таким образом, других степенных рядов, кроме ряда Тейлора, не существует

При разложении функции в ряд Тейлора нужно найти коэффициенты степенного ряда , имеющие вид . В ряде случаев можно использовать известные разложения функций в окрестности .

Имеют место следующие разложения элементарных функций.