Лекция 7. Понятие определенного интеграла

План:

1. Определенный интеграл по Риману.
2. Нижняя и верхняя интегральные суммы Дарбу.

Ключевые слова: интегральная сумма, суммы Дарбу, нижняя и верхняя суммы.

Пусть на отрезке задана функция . Разобьем отрезок на элементарных отрезков точками .

Точки, разделяющие отрезок [ а, b ] на частичные отрезки длиной , называются точками разбиения. Внутри каждого частичного отрезка выберем произвольную точку . Образуем сумму произведений

,

На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида

(1)

будем называть интегральной суммой для функции .на . Для избранного разбиения отрезка на части обозначим через максимальную из длин отрезков , где .

Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек и точек . Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на , обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке , то есть

= .

называемую интегральной суммой для функции на отрезке [ а, b ]. Геометрический смысл величины s показан на рис. 2.. Это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами .

При этом числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами, выражение – подынтегральным выражением, – подынтегральной функцией.

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной вертикальными прямыми при , осью Ох и графиком неотрицательной и непрерывной функции . В этом состоит его геометрический смысл.

Экономический смысл интеграла. Если - производительность труда в момент времени , то есть объем выпускаемой продукции за промежуток

. Величина и объем продукции, произведенной за промежуток времени , численно равна площади под графиком функции , описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке или .

Лекция 8. Классы интегрируемых функций.

План:

1. Необходимые и достаточные условия интегрируемости.
2. Классы интегрируемых функций.

Ключевые слова: интегрируемые функции, класс функций, условия интегрируемости.

Пусть и . Составим суммы

и .

Они называются суммами Дарбу.

Тогда верна следующая

Теорема. Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы .

Эта теорема позволяет установить классы интегрируемых функций.

Теорема 1. Если f (x) ограничена на [ a, b ] и имеет на нем лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на [ a, b ].

Теорема 2. Если f (x) монотонна и ограничена на [ a, b ], то она интегрируема на [ a, b ].

Свойства определенных интегралов

Достаточное условие существования интеграла.

Теорема. Если непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Ниже перечислены основные свойства определенного интеграла.

1. ;

2. если , то ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. если , то .

7 интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю

;

Следствие. Пусть на отрезке , где , , где и - некоторые числа. Тогда

.

Лекция 9. Основная формула интегрального исчисления. Основные методы интегрирования в определенном интеграле.

План:

1. Основные свойства определенного интеграла.

2. Теоремы о среднем.

3. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

4. Замена переменного в определенном интеграле.

5. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Ключевые слова: определенный интеграл, среднее значение интеграла, переменный верхний предел.

Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , где , то найдется такое значение , что

.

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и - любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на на этом отрезке, то есть

Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница.

Теорема. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , и функция непрерывна в каждой точке вида , где .

Тогда имеет место равенство

= .

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Теорема. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда

.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.