Семестр 3 страница

Вычисление криволинейных интегралов, приводится к вычислению обыкновенных определенных интегралов. Рассмотрим, например интеграл и предположим, что уравнение линии интегрирования L дано в параметрическом виде:

и их производные непрерывны. Начальной точке линии (В) соответствует значение параметра , а конечной (с)- . Возьмем интегральнную сумму пределом которой является данный криволинейный интеграл, и преобразуем ее к переменной t. Здесь - дифференциал доғаның дифференциалы болады, и .

Если - непрерывна на кривой АВ қисық, то

Если кривая АВ дано уравнением , то считая х как параметр, получаем

Определение, условия существования и методы вычисления криволинейного интеграла первого рода в пространстве, также как у криволинейного интеграла на плоскости.

Лекция 12. Криволинейные интегралы второго рода

План:

1. Криволинейные интегралы второго рода и их свойства.

2. Приложения криволинейного интеграла второго рода

Ключевые слова: криволинейный интеграл, определенный интеграл, путь, независимость от пути.

Рассмотрим ориентированную незамкнутую кривую L = АВ в плоскости хОу с началом в точке А и концом в точке В; z=f (x, y) - функция, определенная на кривой L. Разобьем кривую L последовательными точками

А ₀ =А, А ₁, А ₂,..., А _n =В

на дуги d ₁= А ₀ А ₁, d ₂= А ₁ А ₂,..., d _n= А _n-1 А _n и на дуге d _i выберем произвольную точку М _i(t _i, s _i) (i = 1, 2,..., n) (рис. 16). Обозначим D x_i = x_i - x_{i -1} , D y_i = y_i - y_{i -1}, а d -наибольшую из длин дуг d_i (i = 1,2,..., n).

Составим интегральную сумму функции f (x, y) по кривой L относительно х

Определение. Предел , если он существует, называется криволинейным интегралом 2 -го рода от функции f (x, y) по кривой L относительно х и обозначается

(1)

В случае замкнутой кривой L выбирается произвольная точка на кривой, которая принимается за концевые точки А, В,и криволинейный интеграл 2-го рода определяется аналогично случаю незамкнутой кривой.

Теорема (достаточное условие существования интеграла). Если функция f (x, y) непрерывна на кривой L за исключением, быть может, конечного числа точек и ограничена на L, то криволинейный интеграл 2-го рода (1) существует.

Некоторые свойства криволинейного интеграла 2-го рода. Для криволинейных интегралов 2-го рода выполняются свойства линейности и аддитивности

Свойство антиориентированности

.

Это свойство связано с тем, что при изменении направления обхода кривой все приращения D x _i и, следовательно, интегральная сумма S_x изменяют знак.

Аналогично определяется криволинейный интеграл 2 -го рода от функции g (x, y) по кривой L относительно у

, (2)

где .

Пусть на ориентированной кривой L определены две функции f (x, y) и g (x, y). Тогда сумма интегралов (1) и (2) называется общим криволинейным интегралом 2 -го рода от функций f (x, y) и g (x, y) по кривой L и обозначается

Физический смысл криволинейного интеграла 2-го рода.

Пусть - сила, действующая на материальной точку М (x, y) ориентированной кривой L. Тогда работа, совершаемая силой при перемещении точки М вдоль ориентированной кривой L,равна

Замечание. Криволинейный интеграл 2-го рода аналогично определяется и для пространственной ориентированной кривой.

Площадь плоской фигуры. Пусть простая замкнутая кривая3 L ориентирована “против часовой стрелки”, D - область, ограниченная кривой L. Тогда площадь области D равна

. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.

Пусть ориентированная кривая L задана параметрическими уравнениями

x = j (t), y=y (t), a ≤ t ≤ b,

где j (t), y (t) - непрерывно дифференцируемые на отрезке [ a, b ] функции. Тогда

.

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L: если ориентации кривой L соответствует изменение параметра t от a до b, то в формуле выбирается первый вариант пределов интегрирования. В противном случае в нужно выбирать вариант пределов интегрирования в скобках.

Пусть кривая L задана явно уравнением y=h (x), a ≤ x ≤ b, где h (x) - непрерывно дифференцируемая на отрезке [ a, b ] функция. Тогда

.

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L,как в формуле (29).

Пусть кривая L задана явно уравнением x=h (y), a ≤ y ≤ b, где h (y) - непрерывно дифференцируемая на отрезке [ a, b ] функция. Тогда

.

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L.

Лекция 13. Поверхность. Площадь поверхности.

План:

1. Поверхность.

2. Параметризация поверхности.

3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

4. Площадь поверхности.

Ключевые слова: поверхность, плоскость, касание, нормаль к поверхности.

Рассмотрим гладкую поверхность , замкнутую или ограниченную кусочно – гладким контуром. Взяв на поверхности определенную точку , проведем к ней нормаль, которой припишем определенное направление – одно из двух возможных. Проведем по поверхности замкнутый контур исходящий из и возвращающийся в , причем, предположим, что он не пересекает границы поверхности. Заставим точку обойти этот контур и в каждом последовательных ее положений будем приписывать нормали то из двух направлений, в которое непрерывно переходит направление, выбранное нами в начальном положении . При этом может случиться одно из двух: либо после обхода контура мы вернемся в точку с тем же направлением нормали, либо же – с направлением, противоположным исходному.

В последнем случае поверхность называется двусторонней. Простейший и наиболее важный пример такой поверхности – поверхность выражаемая явным уравнением в предположении, что функция непрерывна в некоторой плоской области (D) и допускает в ней непрерывные частные производные

и .

В этом случае направляющие косинусы нормали к поверхности имеют выражение

, ,

Выбрав перед радикалом определенный знак, мы устанавливаем во всех точках поверхности определенное направление нормали. Значит выбор знака перед радикалом определяет сторону поверхности.

Рассмотрим произвольную простую незамкнутую гладкую поверхность (S). заданную параметрическими уравнениями

Если через обозначить определители матрицы

,

то направляющие косинусы нормали к поверхности выражаются формулами

, , .

при условии, что всегда .

Каждая часть поверхности с достаточно малым диаметром проектируется на касательную плоскость в любой точке этой части взаимно однозначно. Поэтому площадь поверхности может быть вычислена по формуле

Если матрицу

«возвести в квадрат» и составить определитель

,

то он окажется равен именно . Обычно полагают

- это так называемые гауссовы коэффициенты. В этих обозначениях

и формула вычисления площади поверхности будет выглядеть следующим образом

Выражение

называют элементом площади в криволинейных координатах.

Метод вычисления площади поверхности основывался на проектировании части поверхности на касательную плоскость. Если же, по аналогии с вычислением длины дуги кривой, вписывать в часть поверхности многоугольник, то предел сумм многоугольников может не существовать. Есть так называемый «сапог Шварца» - пример построенный известным математиком Шварцем.

Лекция 14. Поверхностные интегралы первого рода.

План:

1. Поверхностные интегралы первого рода.

2. Сведение поверхностного интеграла к определенному

Ключевые слова: интеграл, поверхность, элемент площади.

Дадим общее определение интеграла по поверхности. Пусть S-гладкая поверхность и f(M)-непрерывная функция точки М на поверхности S. Функцию f(M) можно записать в виде f(x,y,z), где x,y,z-координаты точки М. Разобьем поверхность S на части, как указано выше, и образуем интегральную сумму .

Определение. Интегралом по поверхности (или поверхностным интегралом) называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю диаметра каждой площадки разбиения.

Записывается это так:

.

Если, функция f(x,y,z) является поверхностной плотностью массы, распределенной по поверхности, то интгерал выражает массу всей поверхности, если f(x,y,z) – плотность распределения электрических зарядов, то интеграл выражает суммарный заряд поверхности. В том частном случае, когда f(x,y,z)=1, интеграл просто равен площади поверхности S.

Определение. Если интегральная сумма

при имеет (предел не зависит от разделения и от выбора точек ) предел, то этот предел называется поверхностным интегралом первого типа и записывается так:

.

Свойства поверхностного интеграла первого типа, похож на свойства двойного интеграла.

Если поверхность задано функцией , то поверхностный интеграл первого типа вычисляется следующей формулой:

.

А если , то

.

Также, если , то

.

Где D, Q, R-проекции поверхности S в координатной системе XYZ.

Лекция 15. Поверхностные интегралы второго рода.

План:

1. Поверхностные интегралы второго рода.

2. Применение поверхностного интеграла второго рода

Ключевые слова: интеграл, поверхность, элемент площади.

Определение. Если интегральная сумма

,

при имеет предел (предел не зависит от разделения и от выбора точек ), то этот предел называется поверхностным интегралом второго типа по выбору одного из сторон поверхности S и записывается так:

А если поверхность S имеет проекцию на плоскости XOZ или YOZ, то поверхностный интеграл второго типа имеет вид:

, .

Общий вид поверхностного интеграла второго типа выглядит так:

(*)

Чтобы вычислить этот интеграл (*) приводим к двойному интегралу.

Если поверхность S имеет вид: а) б) в) , то соответсвенно формулы вычисления:

а)

б)

в)

где D, P, R – проекции поверхности S на координатные плоскости.

Теорема. Если функции Р(x, y, z),Q(x,y,z), R (x,y,z) непрерывны вместе со свойми частными производными в замкнутой ограниченной области (V), то имеет место формула

. (1)

Формула Гаусса-Остраградского как связывающая формула поверхностных интегралов двух типов записывается так:

(2)

где - направляющие косинусы внешней нормали.

Следствие.

Первое следствие. Чтобы поверхностный интеграл взятый по замкнутой поверхности не содержащей особые точки (линии) был равен нулю, необходимо и достаточно

.

Второе следствие. Если считать что,

в формуле Гаусса-Остраградского (2), то имеет вид:

функция - это оператор Лапласа.

значит, .

Лекция 1. Скалярные поля

План:

1. Скалярные поля.

2. Линии уровня.

3. Поверхности уровня.

4. Градиент.

Ключевые слова: поле, вектор, скаляр, градиент.

Множество Е точек рассматриваемого пространства, совместно с приписанными этим точкам числами, называется скалярным полем. Скалярным полем часто называют и саму функцию F(M), породившую это поле на точечном множестве Е. Если Е – множество точек на плоскости, то скалярное поле называется плоским; если же Е – множество точек в трехмерном пространстве, то поле называется пространственным.

Примеры скалярных полей различной природы доставляет нам физика. Так, можно говорить о скалярном поле температур в пространстве, занятом нагретым телом (в каждой точке этого пространства температура имеет определенное значение); можно говорить о скалярном поле электрического потенциала в пространстве вокруг электрического заряда и т.п. Известные из физики изотермы (линии равной температуры), изобары (линии равного давления), эквипотенциальные линии (линии равного потенциала) являются примером линий уровня в различных плоских физических скалярных полях.

Для пространственного скалярного поля F(M) = F(x,y,z) уравнение F(x,y,z) = С с переменным параметром С определяет семейство поверхностей уровня, т.е. семейство поверхностей во всех точках каждой из которых скалярное поле F(М) имеет одно и тоже значение. Поверхности уровня могут вырождаться в линии и точки. Для сферически симметричного поля, т.е. такого, что значение F(М) зависит только от расстояния точки М до некоторой фиксированной точки N, любая сфера с центром в точке N является поверхностью уровня. Если F(М) = const во всей области Е, то множество точек, удовлетворяющих уравнению F(x,y,z) = С, либо пусто, либо совпадает со всей областью Е.

Градиент скалярного поля u(M) = u(x,y,z) определяется равенством

. (1)

В математической теории поля широко используют символическое выражение, обозначаемое ("набла"): , напоминающее по форме вектор, разложенный по базисным ортам , где вместо координат вектора записаны операторы дифференцирования . Это выражение называют векторным дифференциальным оператором или оператором Гамильтона.

Лекция 2. Векторные поля

План:

1. Векторные поля.

2. Векторные линии.

3. Дивергенция, ротор.

Ключевые слова: векторная линия, дивергенция, ротор.

Если каждой точке М данной области Е соответствует определенный вектор , то говорят, что в области Е задано векторное поле. В декартовой системе координат векторное поле задается тремя функциями P,Q,R, определенными в области Е

.

Здесь и в дальнейшем будем предполагать, что эти функции во всей области непрерывны вместе с частными производными. Для плоского векторного поля:

.

Векторной линией данного поля называют такую линию ℓ, в каждой точке которой вектор имеет направление касательной к этой линии. Через каждую точку векторного поля проходит (при условии, что ) одна векторная линия. Совокупность всех векторных линий определяется системой дифференциальных уравнений:

.

Векторные линии характеризуют векторные поля геометрически и дают известную информацию о структуре этого поля. Так, если – стационарное поле скоростей текущей жидкости, то в этом поле векторные линии, очевидно, будут являться траекториями частиц жидкости; называются они в таком случае линиями тока. В векторном поле векторные линии нормальны в каждой точке поверхностям уровня F(x,y,z) = С; вдоль этих линий функция F(M) изменяется быстрее всего. В случае плоского векторного поля семейство векторных линий определяется уравнением

.

Пусть векторное поле определено в пространственной области Е. Выберем в этой области какую-нибудь кривую ℓ. Ориентируем эту кривую, указав на ней положительное направление, для чего установим на ℓ начальную точку А и конечную – В. Пусть – орт касательной в точке М к кривой ℓ, совпадающей по направлению с направлением кривой. Разобьем кривую ℓ любым образом на n "элементарных дуг" длиной D S_k (k=1,2, …,n) в направлении от А к В и в произвольном месте каждой элементарной дуги возьмем по точке M_k. Для k -й элементарной дуги составим произведение

(1)

а затем просуммируем все подобные произведения по всем k:

(2)

Мы пришли к интегральной сумме первого рода по кривой ℓ. Если функции P, Q, R непрерывны в области Е, а maxD S_k – наибольшая из длин D S_k, то при условии maxD S_k ® 0 сумма (2) стремится к конечному пределу, которым является криволинейный интеграл первого рода от функции по кривой ℓ:

. (3)

Вводя в рассмотрение векторный элемент линии ℓ с координатами dx, dy, dz, можем представить интеграл (3) в координатной форме:

. (4)

Особенно большую роль играет в теории поля криволинейный интеграл (4) в случае, когда кривая ℓ, по которой он берется, замкнута, т.е. в случае когда конец В этой кривой совпадает с ее началом А. В этом случае криволинейный интеграл (4) называется циркуляцией векторного поля по замкнутой кривой ℓ и обозначается символом :

. (5)

Лекция 3. Специальные поля

План:

1. Соленоидальные векторные поля

2. Потенциальные векторные поля.

Ключевые слова: соленоидальные поля, потенциальные, векторные поля.

Векторное поле называют потенциальным в области (G), если существует такая скалярная функция (скалярное поле) , заданная в (G), что для всех точек этой области: . Функцию называют потенциалом поля .