Замена переменных под знаком несобственного интеграла и интегрирование по частям

Ключевые слова: несобственный интеграл, сходимость интеграла, признаки сходимости.

Пусть

1. Функция определена на ;

2. интегрируема на .

Предел вида

называется несобственным интегралом первого рода. Если этот предел существует и конечен, то говорят, что сходится или существует. Если это предел не существует или бесконечен, то говорят, что расходится или не существует.

Аналогично,

,

.

Предел вида называется главным значением несобственного интеграла и обозначается так .

Свойства.

1. Если существует , то существует . При этом

.

2. Если существует , то .

3. Если существует , то существует .

4. Если существуют и , то существует

.

Здесь всюду предполагается, что и .

Теорема 1. Если , то

1. если , то ;

2. если , то .

Теорема 2. Если существует

,

то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Практический признак сходимости.

Пусть при существует . Тогда

если , то сходится;

если , то расходится.

Здесь функции и могут иметь произвольный знак.

Теорема. Если существует , то существует и .

Определение. Если существует , то интеграл называется абсолютно сходящимся.

Если существует , но , то интеграл называется неабсолютно сходящимся.

Признак Дирихле. Пусть

1. интегрируема в любом , причем

;

2. При .

Тогда сходится.

Следствие. Если при , то существуют и (последний – при ).

Лекция 12. Несобственные интегралы второго рода.

План:

1. Несобственные интегралы второго рода.

2. Главное значение несобственного интеграла.

Ключевые слова: несобственный интеграл, сходимость интеграла, признаки сходимости.

Определение. Точка с называется особой точкой функции f (x), если

или этот предел не существует. Ниже рассматривается лишь первый

случай.

Пусть b есть особая точка функции f (x) и для любого эта функция интегрируема на отрезке . Тогда предел

называется несобственным интегралом второго рода. Если этот предел существует и конечен, то говорят, что интеграл сходится или существует, если же этот предел равен бесконечности, то интеграл расходится, или не существует.

Аналогично, если особой точкой является а, то несобственный интеграл второго рода определяется так

.

Наконец, если особая точка c удовлетворяет условию a < c < b, то интеграл определяется так

.

Заметьте, что и разные. Если взять их одинаковыми, то получающийся предел

называется главным значением несобственного интеграла второго рода.

Здесь всюду предполагается, что и .

Теорема 1. Если , то

1. если , то ;

2. если , то .

Теорема 2. Пусть b есть особая точка функции f (x). Если при x ® b существует предел

,

то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Практический признак сходимости.

Пусть b есть особая точка функции f (x). Если при x ® b существует предел

,

то при интеграл сходится;

при интеграл расходится.

Если особой точкой является точка а, то предел принимает вид

.

Лекция 13. Функции многих переменных..

План:

1. n-мерное евклидово пространство. Окрестности и пределы последовательности точек. Открытые и замкнутые множества.

2. Сходимость в n-мерном евклидовом пространстве.

3. Функции многих переменных. Предел, непрерывность функций многих переменных.

Ключевые слова: евклидово пространство, множество, функция многих переменных, предел, непрерывность.

Переменная называется функцией двух независимых переменных и , если некоторым парам значении и по какому – либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z. Множество Gпар значений и , которые могут принимать переменные и , называется областью определения функции, а множество всех значений, принимаемых в области определения, - областью значений функции . Переменные и называются аргументами функции.

Пара чисел и определяет положение точки Mна плоскости с координатами и Поэтому функцию двух переменных можно рассматривать либо как функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки M , либо как скалярную функцию векторного аргумента .

Каждой тройке в пространстве соответствует точка . Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функции трех переменных . Областью определения функции трех переменных будет все пространство или его часть.

Аналогично можно дать определение функции четырех и более переменных.

Множество точек M(x; y), координаты и которых удовлетворяют неравенству или называется δ-окрестность точки .

Определение. Число Aназывает пределом функции при стремлении точки Mк точке , если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех точек Mиз области определения этой функции, удовлетворяющих условию имеет место неравенство . Обозначают это так:

или

Функция называется бесконечно малой при если

.

Пусть точка принадлежит области определения .

Функция называется непрерывной в точке если

,

причем точка Mстремится к M₀ произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Обозначим , . Полным приращением при переходе от точки к точке Mназывается разность значении функции в этой точке

,

то есть

.

Лекция 14. Частные производные и дифференциалы функции нескольких переменных

План:

2. Частные производные. Полный дифференциал. Дифференцируемость функций.

3. Дифференцирование композиции функций. Инвариантность формы полного дифференциала.

4. Производная по направлению.

5. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

6. Формула Тейлора.

Ключевые слова: частные производные, дифференциал, направление вектора.

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных в точке частные производные определяются так:

,

,

если эти пределы существуют.

Величина

называется частным приращением функции zв точке по аргументу (по аргументу ).

Используются и другие обозначения частных производных

, , , ,

, , , .

Символы

, , ,

как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной).

Геометрический смысл частной производной функции двух переменных

Частная производная - угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности и плоскости в соответствующей точке. Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать, что частная производная есть скорость изменения функции относительно при постоянном .

Из определения частных производных следует, что правила их вычисления остаются теми же, что и для функций одной переменной, только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции трех и большего числа независимых переменных.

Рассмотрим

. (1)

Если приращение (1) можно представить в виде , (2)

где А и В не зависят от и , а и стремятся к нулю при стремлении к нулю и , то функция называется дифференцируемой в точке , а линейная часть приращения функции (то есть та часть , которая зависит от и линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке и обозначается символом :

. (3)

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости).

Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки и эти производные непрерывны в самой точке , то эта функция дифференцируема в точке .

Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка. Так, для функции двух независимых переменных можно определить (предполагается, что все производные существуют) четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами

, ,

, .

Частные производные и , отличающиеся порядком дифференцирования,

называются смешанными частными производными второго порядка.

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и

старших порядков.

Теорема. Если смешанные производные второго порядка и непрерывны, то они равны, то есть

= ,

Следствие. Смешанные производные высших порядков равны, если они непрерывны и получены в результате дифференцирования по одним и тем же переменным одинаковое число раз, но может быть в разной последовательность.

Лекция 15. Неявные функции. Экстремум функции многих переменных

План:

1. Неявные функции.

2. Якобиан. Существование и дифференцируемость неявно заданных функций.

3. Экстремум функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.

4. Функциональная зависимость.

5. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

6. Вектор функция. Предел, непрерывность, дифференцируемость вектор функции.

7. Производная по направлению.

Ключевые слова: неявная функция, Якобиан, условный экстремум, метод множителей Лагранжа.

В математике и в ее приложениях приходится сталкиваться с такими задачами, когда переменная u, являющаяся по смыслу задачи функцией аргументов х, у,..., задается посредством функционального уравнения

F(u, х, у,...) = 0. (1)

В этом случае говорят, что u как функция аргументов х, у,... задана неявно. Так, например, функция u = - , рассматриваемая в круге x² + y² ≤ 1, может быть неявно задана посредством функционального уравнения

F(u, х, у) = u² + x² + y² – 1 = 0. (2)

Остановимся на вычислении частных производных функции, неявно заданной посредством уравнения (3). Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для полного приращения функции u = φ(х, у) справедливо представление (10). Это представление позволяет утверждать, что частные производные функции u = φ(х, у) определяются формулами

, (11)

Аналогичные формулы справедливы и для случая, когда неявно заданная функция зависит не от двух, а от любого конечного числа аргументов x₁, х₂, …, x_m. В этом случае

(k= 1, 2, …, m)

Если мы хотим обеспечить существование у неявно заданной функ­ции u= φ(х, у) частных производных второго порядка, то, естест­венно, приходится усилить требования, наложенные на функцию F(u, х, у) в теореме 1, именно приходится дополнительно тре­бовать, чтобы функция F(u, х, у) была два раза дифференцируема в рассматриваемой точке. В этих предположениях остановимся на вычислении частных производных второго порядка.

Введем полезное в дальнейшем понятие полной частной произ­водной функции. Предположим, что нам дана дифференцируемая функ­ция трех аргументов Ф(u, х, у), причем один из этих аргументов uсам является дифференцируемой функцией двух других аргументов х и у.

Тогда функцию Ф(u, х, у) можно рассматривать как сложную функцию двух аргументов х, у. Частные производные этой сложной функции по х и у будем называть полными частными производными функции Ф(u, х, у) по х и у и обозначать символами и .

По правилу дифференцирования сложной функции мы получим сле­дующие формулы для указанных полных частных производных:

, .

Пусть имеется некоторая функция с двумя переменными

Точка называется точкой экстремума (максимума или минимума) функции , если есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки .

При этом значение называется экстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Говорят также, что функция имеет в точке экстремум (или достигает в точке экстремума).

Заметим, что в силу определения точка экстремума функции лежит внутри области определения функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, содержащей эту точку.

Теорема. (Необходимый признак экстремума). Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

,.

Доказательство: Допустим, что функция имеет в точке экстремум.

Согласно определению экстремума функция при постоянном , как функция одного переменного достигает экстремума при . Как известно, необходимым условием для этого является обращение в нуль производной от функции при , то есть

.

Аналогично функция при постоянном , как функция одного переменного , достигает экстремума при . Значит,

Что и требовалось доказать.

Точка , координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции , называется стационарной точкой функции .

Достаточное условие экстремума.

Пусть точка является стационарной точкой функции , то есть

Вычислим в точке значение вторых частных производных функции и обозначим их для краткости буквами A, B и C:

Если , то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум при и минимум при .

Если , то точка не является точкой экстремума.

Если , то неясно, является ли точка точкой экстремума и требуется дополнительное исследование.