Семестр 5 страница

или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования,получаем:

откуда

(2.2)

Заменяя в (2,1) на и интегрируем по частям

получаем рекурентную формулу

(2.3)

Так как

то при целом имеем

(2.4)

то есть

При n=1 в (2.4) имеем

Применим гамма – функцию к вычислению интеграла:

где m > -1,n > -1.Полагая, что , имеем

и на основании (2.2) имеем

(3.1)

В интеграле

где k > -1,n > 0, достаточно положить

Интеграл

где s > 0, разложим в ряд

=

где дзета – функция Римана

Лекция 10. Пространства со скалярным произведением.

План:

1. Скалярное произведение.

2. Пространства со скалярным произведением.

3. Ортогональные и нормированные элементы пространства.

Ключевые слова: скалярное произведение, вектор, ортогональный, нормированный.

Скалярным произведением называется числовая функция, определенная на линейном пространстве и удовлетворяющая следующим условиям:

1. 
2. 
3. 
4. 

при .

Конечномерное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым

Функции и , определенные и интегрируемые на отрезке , называются ортогональными, если

Система определенных и интегрируемых на отрезке функций

называется ортогональной системой функций, если

при .

Бесконечная система функций

называется тригонометрической системой функций.

Теорема. Тригонометрическая система функций ортогональна на отрезке .

Доказательство следует из следующих равенств

Если некоторая система функций ортогональна на одном множестве, то она может не оказаться ортогональной на другом множестве. Например, тригонометрическая система функций ортогональна на отрезке , но не ортогональна на отрезке .

Каждая из систем функций

ортогональна на отрезке .

Лекция 11. Ряды Фурье по ортонормированным системам.

План:

1. Ортогональные, нормированные системы.

2. Ряды Фурье по ортонормированным системам.

3. Неравенство Бесселя.

4. Равенство Парсеваля.

Ключевые слова: Фурье, ортогональная система, Парсеваль, Бессель.

Полином вида

называется тригонометрическим полиномом - ой степени.

Функциональный ряд

называется тригонометрическим рядом. Тригонометрический ряд представляет собой - периодическую функцию.

Теорема. Если ряд

равномерно сходится на к функции , то необходимо его коэффициенты определяются по формулам

Пусть определена и интегрируема на отрезке . Тогда определены числа , задаваемые формулами, определенными выше и

Этот ряд, сопоставляемый функции определенной и интегрируемой на отрезке называется рядом Фурье, а его коэффициенты

называются коэффициентами ряда Фурье.

Значит, любой равномерно сходящийся на отрезке тригонометрический ряд является рядом Фурье своей суммы на этом отрезке.

Теорема. Пусть определена и интегрируема на отрезке . Тогда

1) если четная функция, то

2) если нечетная функция, то

Теорема. Пусть определена и интегрируема на отрезке и - ее коэффициенты Фурье. Если четная функция, то

Если нечетная функция, то

Лекция 12. Ряды Фурье по тригонометрической системе.

План:

1. Ряды Фурье по тригонометрической системе.

2. Наилучшее приближение

Ключевые слова: Фурье, тригонометрическая система, приближение, Парсеваль, Бессель.

Полином вида

называется обобщенным тригонометрическим полиномом - ой степени.

Функциональный ряд

называется тригонометрическим рядом.

Пусть определена и интегрируема на отрезке . Тогда определены числа , задаваемые формулами, определенными выше и

Этот ряд, сопоставляемый функции определенной и интегрируемой на отрезке называется рядом Фурье, а его коэффициенты

называются коэффициентами ряда Фурье.

Значит, любой равномерно сходящийся на отрезке тригонометрический ряд является рядом Фурье своей суммы на этом отрезке.

Пусть - функции определенные и интегрируемые на отрезке . Число

называется среднеквадратическим отклонением функции от функции .

Пусть - число равное

Пусть

произвольный тригонометрический полином.

Тогда

Минимизировать получившуюся сумму можно, если занулить слагаемые, заключенные в рамки. Отсюда

Теорема. Среднеквадратическое отклонение функции определенной и интегрируемой на отрезке от функции , заменяемой на тригонометрический полином является минимальным тогда и только тогда, когда в качестве коэффициентов тригонометрического полинома используются коэффициенты Фурье нашей функции.

Лекция 13. Ядро и интеграл Дирихле.

План:

1. Ядро Дирихле.

2. Интеграл Дирихле.

3. Сходимость в среднем и поточечная сходимость.

Ключевые слова: сумма косинусов, средняя сходимость, поточечная сходимость.

Пусть определена и интегрируема на отрезке . и ее коэффициенты Фурье

Рассмотрим частичную сумму ряда Фурье в точке

то есть

Интеграл, входящий в это выражение называется интегралом Дирихле.

Пусть определенная и интегрируемая на отрезке - периодическая функция. Тогда

Значит

Теорема Римана.

Пусть определена и интегрируема на отрезке . Тогда

Лекция 14. Полнота тригонометрической системы.

План:

1. Почленное дифференцирование ряда Фурье

2. Почленное интегрирование ряда Фурье.

3. Полнота тригонометрической системы.

Ключевые слова: полная система, ряд Фурье, интегрирование и дифференцирование.

Функция, определенная на отрезке называется кусочно – непрерывно дифференцируемым, если кусочно непрерывна на

Теорема. Пусть - кусочно – непрерывно дифференцируема на и

Тогда ряд Фурье для производной получается из ряда Фурье самой функции почленным дифференцированием. Если

то

Теорема. Пусть - кусочно – непрерывно дифференцируема на и

Тогда числовой ряд

абсолютно сходится.

Теорема. Пусть - кусочно – непрерывно дифференцируема на и

Тогда ряд Фурье функции сходится равномерно.

Теорема. Пусть

и

Тогда

Пусть определена и интегрируема на и ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо так называемое равенство Парсеваля

Тригонометрическая система функций полна в классе непрерывных функций. Это означает что, если

и ее коэффициенты Фурье, то из условий следует, что .

Лекция 15. Интеграл Фурье. Формула Фурье

План:

1. Интеграл Фурье.
2. Свойства интеграла Фурье
3. Формула Фурье.
4. Применение формулы Фурье.

Ключевые слова: Фурье, интеграл, преобразование.

Определение. Функция

(1)

называется преобразованием Фурье функции j(x) и обозначается F[j]. Ясно, что не для всякой функции j(x) интеграл (1) сходится, и потому не для всякой функции определено преобразование Фурье.

Определение. Функция

называется обратным преобразованием Фурье функции j(y) и обозначается F^-1[j].

Нетрудно проверить, что обратное преобразование Фурье функций из S(R) обладает свойствами, аналогичными прямому:

1)

2)

3)

Рекомендуемая литература

Основная литература:

1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ т.1,2 М., «Высшая школа», 1973

2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа т. 1, 2., М., 1982 г.

3. Ильин В.А, Садовничий В.А, Сендов В.Х Математический анализ т. 1. Издательство Московского университета 1985 г. с.720

4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: «Наука».-1990 с. 620

5. Дифференциальное и интегральное исчисление. Бугров. Я. С., Никольский С.М., М.: Наука, 1985 г.