Семестр 4 страница

В потенциальном поле линейный интеграл не зависит от формы пути и определятся только начальной и конечной точками пути, а именно

где М₀ и М – начальная и конечная точка линии (L).

Верно и обратное: если линейный интеграл поля (М) не зависит от пути, то поле (М) потенциально. Потенциал поля определяется с точностью до постоянного слагаемого. Это означает, что если один из потенциалов поля , то выражения при любом постоянном С также являются потенциалами поля. Задание величины потенциала в какой- либо точке М₀ области (V) однозначно определяет потенциал любой точки М:

, (*)

где вместо использовано обозначение , поскольку интеграл не зависит от пути.

Если поле задано в декартовой координатной форме: , то для нахождения потенциала точки М(x,y,z) удобно взять линейный интеграл по ломанной М₀М₁М₂М _, звенья которой параллельны координатным осям.

Предполагается, конечно, что ломаная М₀М₁М₂М не выходит за пределы области (G). При таком выборе пути интегрирования и при дополнительном условии выражение (*) принимает вид:

(*)

При использовании этой формулы следует иметь в виду, что в каждом из трех входящих в нее интегралов одной буквой обозначают и верхний предел, и переменную интегрирования, т.е.

Рис. 5.

Отметим, что потенциальность поля и равенство нулю циркуляции поля по искомому простому кусочно-гладкому замкнутому контуру являются эквивалентными свойствами.

Если поле потенциально в области (G), то в любой точке этой области . Это свойство потенциального поля является наиболее важным. Таким образом, потенциальное поле (М) является безвихревым. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если ограничиться поверхностно односвязными областями, то для таких областей понятие потенциального и безвихревого полей оказываются эквивалентными.

Векторное поле (М) называют соленоидальным в области (G), если во всех точках этой области .

С понятием соленоидального поля тесно связано понятие векторного потенциала. Если в области (G), в которой определено поле (М) существует такое векторное поле (М), что в каждой точке области (G) , то векторное поле (М) называют векторным потенциалом поля (М) в области (G).

Для поля (М), обладающего векторным потенциалом в области (G), поток через любую замкнутую поверхность, содержащуюся в области (G), равен нулю.

Поле (М), обладающее векторным потенциалом в области (G), является в ней соленоидальным. Обратное, вообще говоря, неверно: для произвольно взятой области (G) соленоидальность поля (М) еще не гарантирует существования во всей области (G) векторного потенциала поля (М). Однако, если ограничиться пространственно-односвязными областями, то соленоидальность поля и наличие у него векторного потенциала являются эквивалентными свойствами. Таким образом, в пространственно-односвязной области условие div = 0 является необходимым и достаточным для существования векторного потенциала.

Из формулы Остроградского-Гаусса следует, что если соленоидальное поле задано в односвязной области, то поток вектора через любую замкнутую поверхность, принадлежащую этой области, равен нулю:

.

Пусть соленоидальное поле задано в односвязной области. Тогда поток вектора через любую поверхность S, натянутую на заданный контур L, не зависит от вида этой поверхности, а зависит только от контура L.

Возьмем в поле замкнутый контур L и проведем через его точки векторные линии. Образовавшаяся поверхность называется векторной трубкой. Любая другая векторная линия, не проходящая через точки контура L, либо целиком лежит в векторной трубке, либо находится вне ее. В случае поля скоростей стационарного потока жидкостей векторная трубка – это та часть пространства, которую запасной при своем перемещении фиксированный объем жидкости.

Интенсивностью векторной трубки называется поток поля через поперечное сечение этой трубки. Для соленоидальных полей имеет место так называемый закон сохранения интенсивности векторной трубки.

Если соленоидальное поле определено в односвязной области G, то интенсивность векторной трубки постоянна вдоль всей трубки.

В соленоидальном поле векторные линии не могут ни начинаться, ни кончаться внутри поля; они либо замкнуты, либо имеют концы на границе поля, либо имеют бесконечные ветви (в случае неограниченного поля).

Лекция 4. Формула Грина.

План:

1. Циркуляция вектора вдоль контура

2. Формула Грина.

3. Применение формулы Грина

Ключевые слова: циркуляция, вектор, контур.

Пусть векторное поле определено в пространственной области Е. Выберем в этой области какую-нибудь кривую ℓ. Ориентируем эту кривую, указав на ней положительное направление, для чего установим на ℓ начальную точку А и конечную – В. Пусть – орт касательной в точке М к кривой ℓ, совпадающей по направлению с направлением кривой. Разобьем кривую ℓ любым образом на n "элементарных дуг" длиной D S_k (k=1,2, …,n) в направлении от А к В и в произвольном месте каждой элементарной дуги возьмем по точке M_k. Для k -й элементарной дуги составим произведение

(1)

а затем просуммируем все подобные произведения по всем k:

(2)

Мы пришли к интегральной сумме первого рода по кривой ℓ. Если функции P, Q, R непрерывны в области Е, а maxD S_k – наибольшая из длин D S_k, то при условии maxD S_k ® 0 сумма (2) стремится к конечному пределу, которым является криволинейный интеграл первого рода от функции по кривой ℓ:

. (3)

Вводя в рассмотрение векторный элемент линии ℓ с координатами dx, dy, dz, можем представить интеграл (3) в координатной форме:

. (4)

Особенно большую роль играет в теории поля криволинейный интеграл (4) в случае, когда кривая ℓ, по которой он берется, замкнута, т.е. в случае когда конец В этой кривой совпадает с ее началом А. В этом случае криволинейный интеграл (4) называется циркуляцией векторного поля по замкнутой кривой ℓ и обозначается символом :

. (5)

Пусть имеется односвязная область D окруженная контуром L. Пусть в этой области определены две функции и , имеющие непрерывные производные и (см. рис. 9.5).

Рис. Иллюстрация к формуле Грина

Тогда имеет место формула

,

называемая формулой Грина. Она дает связь между криволинейным интегралом второго рода по замкнутому контуру (символ означает криволинейный интеграл по замкнутому контуру; при этом считается, что контур обходится так, что его внутренняя часть находится слева) и двойным интегралом по области, которую этот контур ограничивает.

Лекция 5. Формула Остроградского-Гаусса..

План:

1. Формула Остроградского – Гаусса.

2. Поток векторного поля через поверхность

3. Применение формулы Гаусса - Остроградского

Ключевые слова: поток вектора, поверхность, Гаусс – Остроградский.

Пусть функции z₁(x,y) и z₂(x,y) определены и непрерывны в ограниченной замкнутой области D и z₁(x,y) £ z₂(x,y). Область G={(x,y,z)|(x,y)ÎD, z₁(x,y) £ z £ z₂(x,y)} называется z –цилиндрической. Аналогично определяются х –цилиндрическая и y –цилиндрическая области. Область G называется простой, если ее можно разбить на конечное число как х –цилиндрических, так и y –цилиндрических и z ‑цилиндрических областей.

Теорема. Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), и их частные производные непрерывны в простой замкнутой области G, ограниченной кусочно-гладкой поверхностью Ф. Тогда справедлива формула

, (1)

где поверхностный интеграл берется на внешней стороне поверхности Ф, которая служит границей G.

Формула (1) называется формулой Остроградского-Гаусса.

Следствие. Если функции P, Q, R таковы, что , то интеграл в левой части равенства

(1) равен объему области G, т.е. , и из формулы (1) получается формула для вычисления объема области G с помощью интеграла по ее поверхности:

(2)

Пусть задана ориентированная поверхность (Ф), т.е. такая поверхность, в каждой точке которой выбран единичный вектор , меняющийся на поверхности непрерывно. В случае замкнутой поверхности в качестве будем всегда выбирать вектор внешней нормали.

Потоком П векторного поля через ориентированную поверхность (Ф) называют поверхностный интеграл (первого рода): .

Дивергенция (расходимость) векторного поля может быть определена выражением: , т.е. дивергенция векторного поля представляет собой скалярное поле в области G.

Если – разложение векторного поля , то формулу, определяющую поток, можно записать в виде:

,

либо записать в форме поверхностного интеграла (второго рода):

.

Теперь теорему Остроградского-Гаусса можно сформулировать следующим образом: поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по объему, ограниченному этой поверхностью.

Лекция 6. Формула Стокса.

План:

1. Формула Стокса.

2. Применение формулы Стокса

Ключевые слова: Стокс, интеграл, контур.

Пусть в области G определено векторное поле L – замкнутый контур, лежащий в области G; Ф - произвольная поверхность, границей которой является контур L; Ф Ì G (говорят "поверхность Ф натянута на контур L "); –единичный вектор нормали на выбранной стороне поверхности Ф.

Поверхность Ф называется xyz – проектируемой, если она однозначно проектируется на каждую координатную плоскость прямоугольной системы координат Oxyz. Такую поверхность можно задать с помощью любого из уравнений: z=z(x,y), (x,y) Î G₁; x=x(y,z), (y,z) Î G₂; y=y(z,x), (z,x) Î G₃.

Пусть Ф – гладкая xyz – проектируемая ориентированная поверхность, ограниченная кусочно-гладким контуром L и расположенная внутри области G, в которой функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) имеет непрерывные частные производные первого порядка. Тогда справедлива формула Стокса

где ориентация контура L согласована с ориентацией поверхности Ф. Левая часть формулы Стокса есть циркуляция векторного поля вдоль контура L, а правая часть представляет собой поток через поверх

ность Ф векторного поля с координатами

Эта формула названа по имени английского физика и математика Д. Стокса. Её формулу можно переписать также в следующем виде:

Формула Стокса остается верной для иной ориентированной поверхности Ф с кусочно-гладким краем L, которую можно разбить при помощи кусочно-гладких линий на конечное число гладких кусков, проецирующихся на все три плоскости координат. Ориентированная поверхность, которую можно разбить на конечное число и плоского треугольников, называется полиэдральной поверхностью и представляет собой пример простейшей поверхности, к которой применима формула Стокса.

С понятием циркуляции тесно связано понятие ротора, или вихря. Циркуляция характеризует завихренность векторного поля вдоль всего контура. Локальной характеристикой поля, связанной с завихренностью, является ротор.

Рассмотрим сначала плоское векторное поле и какой-то контур L, окружающий выбранную точку М₀. Величину площади области, заключенной внутри L, обозначим через S. Тогда отношение

(1)

дает среднюю плотность циркуляции вектора на площадке S. Плотность циркуляции в точке М₀ характеризуется пределом выражения (1) при условии стягивания контура L в точку М₀, тогда площадь S, охватываемая контуром L, стремится к нулю, таким образом, если предел существует, то он дает величину завихренности поля в точке М₀.

Если векторное поле - пространственное, то можно говорить о завихренности поля в каком-либо направлении .

Ротором векторного поля в точке М₀ обозначаемым называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской области G, перпендикулярной этому направлению, к величине площади S этой области, когда размеры площади стремятся к нулю, а сама область стягивается в точку М₀, т.е.

,

где L – контур, лежащий в плоскости, перпендикулярной вектору , S - площадь области, ограниченной этим контуром.

Если задано векторное поле , где функции P, Q и R – непре

рывно дифференцируемые в соответствующей области, то

Лекция 7. Интегралы, зависящие от параметра.

План:

1. Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность.

2. Предельный переход под знаком интеграла.

3. Интегрирование и дифференцирование интегралов.

Ключевые слова: параметр, непрерывность от параметра, интегрирование.

Пусть

Тогда определена функция

при , которая называется интегралом, зависящим от параметра.

В более общей форме рассматривают интеграл

Теорема. Пусть

Тогда

Теорема. Пусть

Тогда функция

дифференцируема при и

В случае с интегралом

формула дифференцирования выглядит так

Теорема. Пусть

Тогда функция

дифференцируема при и

Лекция 8. Бета функция.

План:

1. Определение бета функции

2. Свойства бета функции.

3. Применение бета функции к вычислению интегралов.

Ключевые слова: Бета функция, интеграл, факториал, Эйлер.

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

= (1.1)

сходящимся при . Полагая получим:

= - =

то есть аргументы и входят в симметрично. Принимая во внимание тождество

интегрированием по частям имеем

откуда

= (1.2)

При целом b = n последовательно применяя(1.2) получим

(1.3)

при целых = m, = n, имеем

но B(1,1) = 1, следовательно:

Положим в (1.1) . Так как график функции симметричен относительно прямой , то

и в результате подстановки , получаем

.

Полагая в(1.1) , , получим

(1.4)

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применив ко второму интегралу подстановки , получим

=

Лекция 9. Гамма функция.

План:

1. Определение гамма функции

2. Свойства гамма функции.

3. Связь гамма и бета функций

4. Применение гамма функции к вычислению интегралов.

Ключевые слова: Бета функция, интеграл, факториал, Эйлер.

Гамма – функцию определяет интеграл Эйлера второго рода

(2.1)

сходящийся при Положим , имеем

и после замены , через и t через 1+t,получим

Умножая это равенство на и интегрируя по t и пределах от 0 до , имеем: