Лекция 4. Интегралы от иррациональных функций

План:

1. Интегрирование иррациональных функций.

2. Дифференциальный бином.

Ключевые слова: иррациональная функция, радикал, дифференциальный бином, рационализация интеграла.

Рассмотрим интегралы вида , где - функция от .

При для интегралов вида делают замену , и интеграл рационализуется.

При для интегралов выделяем полный квадрат в трехчлене и делая соответствующую линейную замену переменной, сводим общий случай к одному из следующих трех простейших:

1. В этом случае полагаем или или . Так как , то и , то интеграл рационализируется.

2. В этом случае полагаем или или Так как , то и , то интеграл рационализируется

3. В этом случае полагаем или или

. Так как , то и

Эти подстановки были предложены Эйлером.

Интегралы 1 – 3 подстановками

соответственно приводятся также к тригонометрической форме

,

и

, -

4. В интеграле положим

.

Тогда этот интеграл приводится к виду . Здесь дифференциал имеет уже рациональный вид.

Интеграл от дифференциального бинома

,

где и - рациональные числа, может быть приведен к интегрированию рациональных функций лишь в следующих трех случаях (теорема Чебышева):

Случай 1. Пусть - целое число. Полагаем , где - общий знаменатель дробей и ..

Случай 2. Пусть - целое. Полагаем , где - знаменатель дроби .

Случай 3. Пусть - целое. Полагаем , где - знаменатель дроби .

Если , то эти случаи эквивалентны следующим:

1). - целое.

2). - целое.

3) - целое.

Рассмотрим интеграл

Он может быть сведен к интегралам, в которых или увеличивается или уменьшается один из показателей или .