Лекция 3. Интегрирование рациональных дробей

План:

1. Интегрирование простейших дробей

2. Интегрирование рациональных дробей.

Ключевые слова: дробь, рациональная дробь, логарифм, арктангенс.

Метод частных значений. При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х, можно дать переменной х несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получить таким образом систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Особенно выгодно применять этот метод в случае, корни знаменателя рациональной дроби просты и действительны. Тогда оказывается удобным последовательно полагать равным каждому из корней знаменателя.

Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо выполнить следующие действия:

1) если рассматриваемая рациональная дробь - неправильная (k≥m), представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

где n < m; R(x) – многочлен;

2) если рассматриваемая рациональная дробь - правильная (n < m), представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей по формуле (6);

3) интеграл от рациональной дроби представить в виде суммы интегралов от целой части и от соответствующих простейших дробей и вычислить эти интегралы.

Так как

то

Полагая

получаем

, (2)

где .

Далее,

(3)

Обозначим

. (4)

Интегрируя по частям и делая элементарные преобразования получаем

,

Откуда получаем рекурентное соотношение

, (5)

позволяющее понижать степень в интеграле .

Так как

, (6)

то используя (5) (6) можно найти (4).

Теперь комбинируя (3) и (4) можно найти (2).