Лекция 2. Разложение функции в сумму рациональных дробей

План:

1. Простейшие дроби.

2. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби.

Ключевые слова: простейшие дроби, рациональная дробь, правильная дробь.

Простейшими дробями называют дроби вида

и ,

причем квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Пусть дана правильная рациональная дробь

(1)

Теорема. Пусть есть корень знаменателя кратности , то есть , где . Тогда дробь (1) можно представить в виде скммы двух других правильных дробей следующим образом:

= ,

где - постоянная, - многочлен, степень которого меньше степени знаменателя.

Теорема. Если , где многочлен не делится на , то дробь (1) можно представить в виде суммы двух других правильных дробей следующим образом:

= ,

где - многочлен, степень которого меньше степени знаменателя.

В обоих случаях второе слагаемое разложения можно таким же образом разложить в сумму двух правильных дробей и так далее.

Таким образом рациональную функцию можно представить в

следующем виде

,

где - целая часть рациональной функции.

Приводя правую часть равенства к общему знаменателю найдем все неизвестные коэффициенты.