Лекция 1. Определение и свойства неопределенного интеграла

План:

1. Понятие первообразной функции.
2. Неопределенный интеграл.
3. Основные свойства неопределенного интеграла.
4. Интегрирование заменой переменой.
5. Интегрирование по частям

Ключевые слова: первообразная функции, интегрирование, замена переменной и интегрирование по частям.

Функция называется первообразной для функции на промежутке , если в любой точке этого промежутка .

Теорема. Если и - первообразные для функции на некотором промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство

= + .

Множество всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается . Таким образом, = + .

Свойства неопределенного интеграла

1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть

.

2.Дифференциал неопределенного интеграла равен подытегральному выражению, то есть

3.Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, то есть

,

где - произвольное число.

4.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть

5.Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть

.

Метод замены переменной

,

где - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Метод интегрирования по частям

,

где и - дифференцируемые функции.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.