Лекционный комплекс 3 страница

Функция называется непрерывной при значении (или в точке ), если она определена в некоторой окрестности точки и если

Если функции непрерывны в точке , то сумма = также есть непрерывная функция в точке .

Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная.

Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль.

Если непрерывна при и непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала , где , то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.

Если функция определена и при , и при этом , то говорят, что в точке непрерывна справа.

Если , то говорят, что функция в точке непрерывна слева.

Если функция непрерывна в каждой точке интервала и непрерывна на концах интервала, соответственно справа и слева, то говорят, что функция непрерывна на замкнутом интервале или отрезке .

Если в какой – то точке для функции не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности, то есть, если при функция не определена или не существует предел , или при произвольном стремлении , хотя выражения, стоящие справа и слева, существуют, то при функция разрывна. Точка в этом случае называется точкой разрыва функции.

Если функция такова, что существуют конечные пределы и , но или , или значение функции при не определено, то называется точкой разрыва первого рода.

Лекция 8: Свойства функций, непрерывных на отрезке.

План:

1. Ограниченность непрерывных функций.

2. Достижимость экстремальных значений.

3. Промежуточные значения непрерывной функции.

4. Обратные функции

Ключевые слова: отрезок, непрерывность на отрезке, равномерная непрерывность.

Теорема 1. Если функция непрерывна на некотором отрезке

то на отрезке найдётся по крайней мере одна точка такая, что значение функции будет удовлетворять соотношению

,

где - любая другая точка отрезка, и найдётся по крайней мере одна точка такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению

.

Значение функции будем называть наибольшим значением функции на отрезке , значение функции будем называть наименьшим значением функции на отрезке .

Теорема 2. Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда между точками и найдется по крайней мере одна точка , в которой функция обращается в нуль:

,

Теорема 3. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Если на концах этого отрезка функция принимает значения , то, каково бы ни было число , заключенное между числами и , найдется такая

точка , заключенная между и , что .

Если функция непрерывна на отрезке и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом отрезке она принимает по крайней мере один раз любое значение, заключенное между её наименьшими и наибольшими значениями.

Если отношение двух бесконечно малых и имеет конечный и отличный от нуля предел, то есть если , а следовательно, , то бесконечно малые и называются бесконечно малыми одного порядка.

Если отношение двух бесконечно малых и стремится к нулю, то есть если , (а ), то бесконечно малая называется бесконечно малой высшего порядка, чем бесконечно малая , а бесконечно малая называется бесконечно малой низшего порядка, чем бесконечно малая .

Бесконечно малая называется бесконечно малой - го порядка относительно бесконечно малой , если и - бесконечно малые одного порядка., то есть если .

Если отношение двух бесконечно малых и стремится к единице, то есть если , то бесконечно малые и называются эквивалентными бесконечно малыми и пишут .

Если и - эквивалентные бесконечно малые, то их разность есть бесконечно малая высшего порядка, чем и чем .

Если разность двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка, чем и чем , то. и суть эквивалентные бесконечно малые

Лекция 9: Производная и дифференциал функции Производные основных элементарных функций.

План:

1. Производная и дифференциал функции одной переменной: их геометрический и механический смысл.
2. Производные сложной, обратной функции и функции заданной в неявном виде.
3. Производная функции заданной параметрической.
4. Производные основных элементарных функций.
5. Производные и дифференциалы высших порядков.
6. Формула Лейбница для n-ой производной
7. Логарифмическое дифференцирование.

Ключевые слова: производная функции, дифференциал, приращение функции, формула Лейбница.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует)

.

Если функция в точке имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Функция дифференцируемая в каждой точке промежутка , называется дифференцируемой на этом промежутке.

Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, приведенной к кривой в точке .

Тогда уравнение касательной к кривой в точке примет вид

.

Механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент времени :

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

Производная функции может быть найдена по следующей схеме

1.Дадим аргументу приращение и найдем наращенное значение функции .

2.Находим приращение функции .

3.Составляем отношение .

4.Находим предел этого отношения при , то есть (если этот предел существует).

Правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю, то есть .

2. Производная аргумента равна 1, то есть .

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, то есть

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

.

Теорема. Если и - дифференцируемые функции от своих переменных, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной , то есть

.

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, то есть .

Таблица производных

Лекция 10: Основные теоремы о дифференцируемых функций.

План:

1. Теорема Ферма,

2. Теорема Лагранжа,

3. Теорема Ролля,

4. Теорема Коши.

Ключевые слова: экстремум функции, значение функции, промежуточное значение.

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть .

Теорема Ферма является необходимым условием существования у функции экстремумов

Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) на концах отрезка принимает равные значения, то есть .

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой производная функции равна нулю: .

Доказательство теоремы основано на следующей идее. Функция непрерывная на отрезке, достигает на нем своего минимума и максимума. Из условия равенства значений на концах отрезка следует, что, по крайней мере, один из экстремумов находится во внутренней точке отрезка, то есть принадлежит интервалу . В этой точке производная равна нулю.

Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям

1.Непрерывна на отрезке .

2.дифференцируема на интервале ;

Тогда внутри отрезка существует, по крайней мере, одна такая точка , в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, то есть

. (1)

Основной идеей доказательства является преобразование функции к такой функции, которая удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Можно взять функцию

и применить к ней теорему Ролля.

Геометрический смысл равенства (1). Если во всех точках дуги АВ существует касательная, то на этой дуге найдется точка С между А и В, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки А и В.

Так как значение удовлетворяет условию , то , или

, где - число, заключенное между 0 и 1. Но тогда формулу (1) можно записать в следующем виде

Теорема Коши. Если и - две функции, непрерывные на отрезке и дифференцируемые внутри него, причем нигде внутри отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка найдется такая точка , , что

.

Замечание. Теорему Коши нельзя доказать, как это кажется на первый взгляд, применением теоремы Лагранжа к числителю и знаменателю дроби

Доказательство основано на введении в рассмотрение вспомогательной функции

и применении к этой функции теоремы Лагранжа.

Теорема имеет механическое истолкование. Пусть функции и задают законы движения двух материальных точек. Это значит, что есть расстояние от начала отсчета первой материальной точки в момент времени . Аналогичный смысл имеет функция . С момента до момента первая точка прошла расстояние , а вторая – расстояние . Отношение расстояний, пройденных точками за этот промежуток времени, равно . Теорема утверждает, что в некоторый момент движения отношение скоростей точек равно отношению пройденных расстояний.

Лекция 11: Экстремум функции.

План:

1. Минимальное и максимальное значения функции.

2. Достаточное условие экстремума функции.

3. Экстремум функции, не дифференцируемой в точке.

4. Локальный экстремум.

Ключевые слова: минимальное, максимальное значение функции, достаточное условие экстремума, локальный экстремум.

Точка называется точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Точка называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .