Лекционный комплекс 4 страница

Значения функции в точках и называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Для того, чтобы функция имела экстремум в точке необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Первое достаточное условие экстремума.

Теорема: Пусть в окрестности с критической точкой , функция y=f(x) дифференцируема (за исключением, быть может, самой точки ).

А) Если при переходе через точку слева направо производная f '(x) меняет знак с "+" на "-", то точка является точкой максимума.

Б) Если при переходе через точку слева направо производная f '(x) меняет знак с "-" на "+", то точка является точкой минимума.

В) Если при переходе через точку слева направо производная f '(x) не меняет знака, то точка Xo не является точкой экстремума.

Таким образом, если при переходе через точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции , а если с минуса на плюс, - то точка минимума.

Схема исследования функции на экстремум.

1.Найти производную .

2.Найти критические точки функции, в которых производная или не существует.

3.Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4.Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Второе достаточное условие экстремума. Теорема.

Если первая производная дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке , а вторая производная в этой точке положительна, то есть точка минимума функции , если отрицательна, то - точка максимума.

Второе достаточное условие экстремума (общий случай). Пусть в точке x ₀ выполнено условие . Найдем первую по порядку старшинства производную, отличную от нуля: . Тогда возможны следующие варианты.

а) n =2 m – четное число. Тогда в точке x ₀ имеет место локальный экстремум, причем если , то в точке x ₀ – локальный максимум, а если , то в точке x ₀ – локальный минимум.

б) n =2 m +1 – нечетное число. Тогда в точке x ₀ локального экстремума нет (это – точка перегиба).

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке пользуемся следующей схемой.

1.Найти производную .

2.Найти критические точки функции, в которых или не существует.

3.Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее .

Лекция 12 Правило Лопиталя

План:

1. Первое правило Лопиталя..

2. Второе правило Лопиталя.

3. Раскрытия неопределенностей с помощью правил Лопиталя..

Ключевые слова: неопределенность, раскрытие неопределенности, правила Лопиталя

Пусть функции и на некотором отрезке удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль в точке этого отрезка, то есть и .

Отношение не определено при , но имеет вполне определенный смысл при значениях . Вычисление пределов такого типа называется раскрытием неопределенности вида

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции и на некотором отрезке удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль в точке , то есть и . Тогда, если существует предел отношения при , то существует и , причем

=

Теорема имеет место и в том случае, если функции или не определены при , но

, .

Для того чтобы свести этот случай к рассмотренному ранее, мы доопределяем функции и в точке так, чтобы они стали непрерывными в этой точке. Для этого достаточно положить

, .

Если и производные и удовлетворяют тем условиям, которые были наложены в условиях теоремы на функции и , то, применяя правило Лопиталя к отношению , приходим к формуле

=

и так далее.

Теорема. Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы при всех в окрестности точки , причем производная не обращается в нуль. Пусть, далее,

,

и пусть существует предел

.

Тогда существует предел и

= .

Лекция 13. Формула Тейлора.

План:

1. Формула Тейлора и Маклорена.

1. Разложение некоторых элементарных функций.
2. Оценка остаточного члена.

Ключевые слова: формула Тейлора, ряд Тейлора, остаточный член, разложение в ряд.

Предположим, что функция имеет все производные до - го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку . Найдём многочлен степени не выше , значение которого в точке равняется значению функции в этой точке, а значения его производных до - го порядка в точке равняются значениям соответствующих производных от функции в этой точке

(1)

Будем искать многочлен в таком виде

Продифференцировав этот многочлен нужное количество раз, подставив с учетом равенств (1) получим

.

Если обозначить через разность значений данной функции и построенного многочлена , то

= +

Пусть функция f(x) имеет в точке x₀ все производные до n-го порядка включительно. Тогда ее можно представить в виде

).

Эта формула носит название формулы Тейлора, и она является одной из важнейших формул математического анализа. Слагаемое называется остаточным членом.

Формула Тейлора, записанная в виде

называется рядом Тейлора.

Остаточный член в форме Пеано имеет вид . Практического значения эта формула не имеет, но очень полезна при теоретическом исследовании.

Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид

,

где x₀ < c< x. Она используется для количественной оценки погрешности представления функции f(x) формулой Тейлора.

Существует пять классических разложения элементарных функций

1. 2.

3. 4.

5. .

При целой степени последняя формула превращается в так называемый бином Ньютона , где - биномиальный коэффициент

Лекция 14: Исследование функции с помощью производных

План:

1. Интервалы монотонности функции.
2. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Ключевые слова: монотонная функция, интервал монотонности, выпуклость, вогнутость, точка перегиба.

Теорема (достаточное условие возрастания функции)

Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке.

Теорема (достаточное условие убывания функции), Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка ,то она убывает на этом промежутке.

Определение 1. Функция f (x) называется выпуклой на отрезке [ a, b ],если выполнено условие

.

Примерный вид графика выпуклой функции приведен на рис. Его отличительной особенностью является то, что график выпуклой функции лежит под хордой, соединяющей две любые ее точки.

Рис. Вид графика выпуклой функции

Определение 2. Функция f (x) называется вогнутой на отрезке [ a, b ],если выполнено условие

.

Примерный вид графика вогнутой функции приведен на рис. Его отличительной особенностью является то, что график вогнутой функции лежит надхордой, соединяющей две любые ее точки.

Рис. Вид графика вогнутой функции

Отметим еще одно свойство этих графиков: график выпуклой функции лежит над касательной, проведенной к любой ее точке, а график вогнутой функции – под касательной.

Неравенство Иенсена.

Пусть f (x) – выпуклая функция и пусть удовлетворяют условиям:

a) ;

b) .

Тогда имеет место неравенство

.

Для вогнутой функции неравенство повернуто в противоположную сторону.

Связь выпуклости (вогнутости) функции с поведением ее производной

Теорема. Пусть f (x) определена и непрерывна на [ a, b ] и имеет конечную производную. Для того, чтобы f (x) была выпуклой (вогнутой) необходимо и достаточно, чтобы монотонно возрастала (убывала).

Следствие. Пусть f (x) и непрерывны на [ a, b ] и существует . Тогда для того, чтобы f (x) была выпуклой (вогнутой) необходимо и достаточно, чтобы ().

3.14 Точка перегиба

Определение. Точка x ₀ называется точкой перегиба функции f (x) если она отделяет участок, где f (x) выпукла от участка, где f (x) вогнута.

Рис. Вид графика функции в окрестности точки перегиба

Вид графика функции в окрестности точки перегиба приведен на рис. Обратите внимание на то, что касательная проведенная к кривой в точке перегиба пересекает кривую.

Необходимое условие точки перегиба. Если x ₀ – точка перегиба функции f (x), то в ней выполняется условие .

Функция называется выпуклой вверх на промежутке Х, если отрезок соединяющий любые две точки графика лежит под графиком функции.

Функция называется выпуклой вниз на промежутке Х, если отрезок соединяющий любые две точки графика лежит над графиком функции.

Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю, то есть .

Теорема (достаточное услоаие перегиба). Если вторая производная дважды

дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак,

то есть точка перегиба ее графика.

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:

1. Найти вторую производную функции .

2. Найти точки, в которых второй производная или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4. Найти значения функции в точках перегиба.

Лекция 15: Исследование функции с помощью производных и построение графика

План:

1. Асимптоты графика функции. Вертикальные асимптоты.
2. Полное исследование функции.
3. Построение графика функции.

Ключевые слова: асимптота графика функции, вертикальная, горизонтальная и наклонная асимптота.

Определение 1. Прямая AB называется асимптотой кривой, если расстояние между этой прямой и кривой стремится к нулю при удалении точки M кривой в бесконечность. Асимптоты подразделяются на вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Определение 2. Прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы f(a+0) или f(a-0) равен + или - бесконечности. Наклонная асимптота. Уравнение наклонной асимптоты y = kx + b.

Определение. Говорят, что функция f (x) имеет в точке x ₀ локальный максимум (минимум) если такое, что .

Рис. Вид локальных максимума и минимума

Приблизительный вид локального максимума и локального минимума приведен на рис. Оба эти термина объединяют термином локальный экстремум.

. Если выполнено условие , то это еще не означает, что x ₀ – точка перегиба функции f (x). Для выяснения того, как выглядит график функции в окрестности этой точки надо найти первую по порядку старшинства производную, отличную от нуля , причем должно быть . Если это будет производная нечетного порядка, n =2 m +1, то x ₀ есть точка перегиба функции f (x). Если же это будет производная четного порядка n =2 m, то x ₀ есть точка локального экстремума функции f (x).

При исследовании функции на построение их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1. Наити область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность- нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, наити горизонтальные или наклонные асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.