Лекционный комплекс 2 страница

Последовательность называется неубывающей й, если для любого .

Последовательности этих четырех типов называются монотонными последовательностями.

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует число такое, что

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует число такое, что .

Теорема Вейерштрасса.

1. Для того чтобы неубывающая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.

2. Для того чтобы невозрастающая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.

На основании этой теоремы доказывается, что .

Если - некоторая последовательность, а - возрастающая последовательность натуральных чисел, то последовательность называется подпоследовательностью последовательности .

Лемма (Больцано - Вейерштрасс). Каждая ограниченная последовательность имеет действительных чисел содержит сходящуюся подпоследовательность.

Условимся писать и говорить, что последовательность стремится к плюс бесконечности, если для каждого числа найдется номер такой, что при любом . Аналогично вводятся понятия «стремится к минус бесконечности» и «стремится к бесконечности».

Лемма. Из каждой последовательности действительных чисел можно извлечь сходящуюся подпоследовательность или подпоследовательность, стремящуюся к бесконечности.

Число называется нижним пределом последовательности и обозначается , то есть

= .

Аналогично

=

называется верхним пределом последовательности .

Число называют частичным пределом последовательности, если в ней есть подпоследовательность, сходящаяся к этому числу.

Теорема 1. Нижний и верхний пределы ограниченной последовательности являются соответственно наименьшим и наибольшим из её частичных пределов.

Теорема 2. Для любой последовательности нижний предел есть наименьший из её частичных пределов, а верхний предел последовательности – наибольший из её частичных пределов.

Следствие 1. Последовательность имеет предел или стремится к минус или плюс бесконечности в том и в только в том случае, когда нижний и верхний пределы последовательности совпадают.

Следствие 2. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится любая её подпоследовательность.

Лекция 5: Фундаментальные последовательности.

План:

1. Критерий Коши сходимости последовательности

2. Подпоследовательности. Частичные пределы. Теорема Больцано – Вейерштрасса.

3. Фундаментальная последовательность. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности.

Ключевые слова: Подпоследовательности, частичный предел, фундаментальная последовательность.

Пусть имеется некоторая последовательность {x_n}={x₁, x₂, x₃,... }. Рассмотрим последовательность n₁, n₂, n₃,..., где

а) все n_i - целые положительные числа;

б)

и рассмотрим последовательность . Она называется подпоследовательностью последовательности {x_n}.

Теорема.

Если последовательность {x_n} сходится и ее предел равен a, то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет тот же самый предел.

Если {x_n} – бесконечно большая последовательность, то любая ее подпоследовательность есть также бесконечно большая.

Лемма Больцано- Вейерштрасса.

1. Из любой ограниченной последовательности можно извлечь такую подпоследовательность, которая сходится к конечному пределу.

2. Из любой неограниченной последовательности можно извлечь бесконечно большую подпоследовательность.

На основании этой леммы доказывается один из основных результатов теории пределов –

Признак сходимости Больцано – Коши.

Для того, чтобы у последовательности {x_n} существовал конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы

.

Последовательность, удовлетворяющая этому свойству, называется фундаментальной последовательностью, или последовательностью, сходящейся в себе.

Определение. Если существует конечный предел , то последовательность

{x_n} называется сходящейся.

Сходящиеся последовательности имеют следующие свойства.

1. Сходящаяся последовательность ограничена.

2. .

3. .

4. .

5. Если , то .

1.6 Предельный переход в неравенствах.

Теорема 1. Если, начиная с некоторого N, все x_n ³ b, то .

Следствие. Если, начиная с некоторого N, все x_n ³ y_n, то .

Важное замечание. Заметьте, что если, начиная с некоторого N, все x_n > b, то , то есть при предельном переходе строгое неравенство может перейти в нестрогое.

Теорема 2. («Теорема о двух милиционерах») Если, начиная с некоторого N, выполнены следующие свойства

1. ;

2. ,

то существует .

Лекция 6: Функции и их пределы.

План:

1. Понятие функции. Способы задания функции.

2. Предел функции в точке. Два определения предела функции и их эквивалентность.

3. Односторонние пределы. Бесконечные пределы в конечной точке. Предел в бесконечности.

4. Свойства пределов, связанные с неравенствами. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями.

5. Предел монотонной функции. Критерий Коши существование предела функции.

Ключевые слова: функция, предел функции, односторонние пределы.

Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то говорят что на множестве задана функция. При этом называется независимой переменной или аргументом, а - зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия.

Множество называется областью определения или существования функции, а множество – областью значений функции.

Существуют следующие способы задания функции

1. Аналитический способ, если функция задана формулой вида
2. Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции
3. Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции
4. Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления.

Основные свойства функции

1.Четность и нечетность. Функция называется четной, если для всех значений из области определения и нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида.

2.Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого пролмежутка соответствует большее (меньшее)значение функции.

3.Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что для любого . В противном случае функция называется неограниченной.

4.Периодичность. Функция называется периодической с периодрм , если для любых из области определения функции .

Классификация функций.

1.Обратная функция. Пусть есть функция от независимой переменной , определенной на множестве с областью значений . Поставим в соответствие каждому единственное значение , при котором . Тогда полученная функция , определенная на множестве с областью значений называется обратной.

2.Сложная функция. Пусть функция есть функция от переменной ,

определенной на множестве с областью значений , а переменная в свою

очередь является функцией.

Число называется пределом функции при , если для любого малого числа найдется такое положительное число , что для всех таких,что верно неравенство .

Предел функции в точке. Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Число называется пределом функции при , если для любого, даже сколь угодно малого , найдется такое положительное число (зависящий от ), что для всех и удовлетворяющих условию выполняется неравенство . Этот предел обозначается .

Функция называется бесконечно малой величиной при , если ее предел равен нулю.

Свойства бесконечно малых величин

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая

3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Первый замечательный предел

и второй замечательный предел

где

помогают при вычислении многих пределов.

Также при вычислении пределов бывает полезным знание следующих пределов

Лекция 7: Непрерывность функции в точке.

План:

1. Непрерывность функции в точке.
2. Точки разрыва функции и их классификация.
3. Свойства функции, непрерывных в точке.
4. Различные определения непрерывности функции в точке.

Ключевые слова: непрерывность функции, точка разрыва, ограниченность функции.

Функция называется ограниченной в данной области изменения аргумента ,если существует положительное число такое, что для всех значений , принадлежащих рассматриваемой области, будет выполняться неравенство . Если же такого числа не существует, то функция называется не ограниченной в данной области. Функция называется ограниченной при если существует окрестность с центром в точке ,в которой данная функция ограничена.

Функция называется ограниченной при , если существует такое число , что при всех значениях , удовлетворяющих неравенству функция ограничена.

Если при этом есть конечное число, то функция является ограниченной при .

Если , то функция есть ограниченная функция при .

Функция называется бесконечно малой при или при , если или .

Если функция представляется в виде суммы постоянного числа и бесконечно малой :

Если стремится к нулю при (или при ) и не обращается в нуль, то стремится к бесконечности.

Алгебраическая сумма двух, трех и вообще определенного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Произведение функции бесконечно малой на функцию, ограниченную , при (или ) есть величина (функция) бесконечно малая.

Частное от деления величины бесконечно малой на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных

Предел произведения двух, трех и вообще определенного числа переменных равен произведению пределов этих переменных.

Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля.

Если между соответствующими значениями трех функций выполняются неравенства , при этом и при (или при ) стремятся к одному и тому же пределу , то при (или при ) стремятся к одному и тому же пределу.

Если при (или ) функция у принимает неотрицательные значения и при этом стремится к пределу , то и есть неотрицательное число: .

Если переменная величина возратающая, то есть всякое её последующее значение больше предыдущего, и если она ограничена, то есть то эта переменная величина имеет предел где .

Переменная величина при имеет предел,заключенный между числами 2 и 3.

Функция стремится при ,стремящемся к бесконечности, к пределу е:

.

Пусть функция определена при некотором значении и в некоторой окрестности с центром в . Пусть . Если получит некоторое положительное или отрицательное – безразлично – приращение и примет значение , то и функция получит некоторое приращение . Новое, наращенное значение функции будет . Приращение функции выразится формулой = .