Лекционный комплекс 1 страница

Лекция 1: Теория вещественных чисел

План:

1. Рациональные числа. Бесконечные десятичные дроби.
2. Вещественные числа. Сравнение вещественных чисел.
3. Свойства вещественных чисел, связанные с неравенствами.
4. Геометрическая интерпретация вещественных чисел.

Ключевые слова: Множества, число, рациональная дробь, десятичная дробь.

Множество называется множеством действительных чисел, а его элементы – действительными числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:

определена операция сложения, сопоставляющая любым двум элементам и элемент называемый суммой и

При этом выполнены следующие условия

1. существует нейтральный элемент

2. для любого элемента существует противоположный

3. операция ассоциативна

4. операция коммутативна

определена операция умножения, сопоставляющая любым двум элементам и элемент называемый произведением и

При этом выполнены следующие условия

1. существует нейтральный элемент

2. для любого ненулевого элемента существует обратный

3. операция ассоциативна

4. операция коммутативна

Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению

.

Еще существуют аксиома порядка, при котором любые два числа можно сравнить, и аксиома полноты:

Если и - любые два подмножества, обладающие тем свойством, что для любых элементов и выполнено , то существует такое , что для любых элементов и .

Любое вещественное число представимо в виде бесконечной десятичной дроби

Рациональные числа представимы в виде периодических, а иррациональные числа – в виде непериодических бесконечных десятичных дробей.

Пусть и - произвольные два числа. Числа и называются равными, если они имеют одинаковые знаки, и справедливы равенства .

Вещественные числа можно изображать точками на координатной прямой.

Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой выбраны

1. некоторая точка О, называемая началом отсчета

2. положительное направление, которое указывается стрелкой

3. масштаб для измерения длин.

Множество всех вещественных чисел часто называют числовой прямой, а сами числа – точками, и при рассмотрении числовых множеств часто пользуются их геометрической интерпретацией.

Каждая точка числовой оси является изображением только одного действительного числа.

Между двумя произвольными действительными числами найдутся как рациональные так и иррациональные числа

Каждое иррациональное число можно с любой степенью точности выразить с помощью рациональных чисел.

Абсолютной величиной действительного числа называется неотрицательное действительное число , удовлетворяющее условиям

= , если

=- , если

Для любого действительного числа справедливо неравенство

Свойства абсолютных величин

1. абсолютная величина алгебраической суммы нескольких действительных чисел не больше суммы абсолютных величин слагаемых

1. абсолютная величина разности не меньше разности абсолютных величин уменьшаемого и вычитаемого

1. абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин сомножителей

1. абсолютная величина частного равна частному абсолютных величин делимого и делителя

Лекция 2: Точные верхние и нижние грани числовых множеств.

План:

1. Верхняя и нижняя грани числовых множеств.
2. Определение точной верхней и нижней грани.
3. Существование точной верхней и нижней грани.
4. Сложение, вычитание, умножение и деление вещественных чисел.
5. Свойства вещественных чисел.
6. Метод математической индукции.
7. Неравенство Бернулли. Суммирование. Бином Ньютона.

Ключевые слова: Множества, наименьший элемент, наибольший элемент, грань.

Пусть Х – непустое множество вещественных чисел. Множество Х называется ограниченным сверху (снизу), если существует число такое, что для любого числа из множества Х выполняется неравенство ,

Число называется верхней (нижней) границей множества Х.

Элемент называется наибольшим или максимальным (наименьшим или минимальным) элементом множества , если для любого элемента .

Число называется точной верхней гранью ограниченного сверху множества Х, если

1. для любого имеет место
2. для любого найдется такой, что

Условие первое означает, что - одна из верхних граней множества Х, а условие второе - что - наименьшая из верхних граней множества Х. Точная верхняя грань множества Х обозначается .

Аналогично определяется точная нижняя грань ограниченного снизу множества Х. Она обозначается

Теорема. Всякое непустое ограниченная сверху подмножество множества вещественных чисел имеет и притом единственную точную верхнюю грань.

Теорема. Всякое непустое ограниченная снизу подмножество множества вещественных чисел имеет и притом единственную точную нижнюю грань.

Множество Х называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

Арифметические операции над вещественными числами

1. Сложение и умножение рациональных чисел.

2. Сложение вещественных чисел.

3. Умножение вещественных чисел.

Множество называется индуктивным, если вместе с каждым числом ему принадлежит также число

Множеством натуральных чисел называется наименьшее индуктивное множество, содержащее 1.

Принцип математической индукции

Если подмножество множества натуральных чисел таково, что и вместе с числом множеству принадлежит число , то .

Любое непустое подмножество множества натуральных чисел содержит минимальный элемент.

Объединение множества натуральных чисел, множества чисел, противоположных натуральным числами нуля называется множеством целых чисел и обозначается символом .

Числа вида , где называют рациональными числами. Множество рациональных чисел обозначается знаком

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

В любом непустом ограниченном сверху подмножестве множества натуральных чисел имеется максимальный элемент.

Множество натуральных чисел не ограничено сверху.

В любом непустом ограниченном сверху подмножестве множества целых чисел имеется максимальный элемент.

В любом непустом ограниченном снизу подмножестве множества натуральных чисел имеется минимальный элемент.

Множество целых чисел не ограничено ни сверху ни снизу.

Принцип Архимеда. Если фиксировать произвольное положительное число , то для любого действительного числа найдется и притом единственное число такое, что

Для любого положительного числа , существует натуральное число такое, что

Если число таково, что и для любого , то .

Для любых чисел таких, что , найдется рациональное число такое, что .

Для любого числа существует и притом единственное целое число такое, что .

Функцию натурального аргумента называют последовательностью.

Пусть - последовательность каких либо множеств. Если , то говорят, что имеется последовательность вложенных множеств.

Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши - Кантора). Для любой последовательности вложенных отрезков найдется точка , принадлежащая всем этим отрезкам.

Если, кроме того, известно, что для любого в последовательности можно найти отрезок , длина которого , то - единственная общая точка всех отрезков.

Говорят, что система множеств покрывает множество , если .

Подмножество множества , являющегося системой множеств, будем называть подсистемой стстемы .

Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля - Лебега). В любой системе интервалов, покрывающих отрезок, имеется конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.

Точка называется предельной точкой множества , если любая окрестность этой точки содержит бесконечное подмножество множества .

Лемма о предельной точке (принцип Больцано - Вейерштрасса). Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку.

Множество называется счетным, если оно равномощно множеству натуральных чисел.

Теорема. 1. Бесконечное подмножество счетного множества счетно.

2. Объединение множеств конечной или счетной системы счетных множеств есть множество счетное.

Множество рациональных чисел счетно.

Множество алгебраических чисел счетно.

Множество действительных чисел называют также числовым континуумом, а его мощность – мощностью континуума.

Теорема (Кантор). Мощность множества натуральных чисел меньше мощности множества действительных чисел.

Следствие. 1. , и существуют иррациональные числа.

2. Существуют трансцендентные числа.

Лекция 3: Числовые последовательности и ее предел.

План:

1. Числовые последовательности и ее предел. Единственность предела последовательности.

2. Ограниченность сходящейся последовательности.

3. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

5. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Ключевые слова: Последовательность, предел, бесконечно большая, бесконечно малая.

Функция, областью определения которой являетсяч множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число то говорят, что задана числовая последовательность .

:

Числа называются членами последовательности, а число - общим членом последовательности.

Число называется пределом числовой последовательности , если если для любого малого числа найдется такой номер (зависящий от ), что для всех членов последовательности с номерами верно равенство .Предел

числовой последовательности обозначается .

Последовательность имеющая предел называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Если существуют число и номер такие, что при любом , то последовательность называется финально постоянной.

Последовательность называется ограниченной, если существует число такое, что при любом .

Теорема. 1. Финально постоянная последовательность сходится.

2. Любая окрестность предела последовательности содержит все члены последовательности, за исключением конечного их числа.

3. Последовательность не может иметь двух различных пределов.

4. Сходящаяся последовательность ограничена.

Если , - две числовые последовательности, то их суммой, произведением и частным называются соответственно последовательности

, ,

Теорема. Пусть , - числовые последовательности. Если , , то

1.

2.

3. , если

1. Пусть , - числовые последовательности, причем , . Если , то начиная с некоторого номера имеет место неравенство

2. Пусть , и - числовые последовательности и имеет место неравенство . Тогда, если , , то. .

3. Пусть , . Если начиная с некоторого номера

А) , то

В) , то

С) , то

D) , то

Лекция 4: Монотонные, ограниченные последовательности.

План:

1. Монотонные и ограниченные последовательности.

2. Точные грани последовательности.

3. Признак сходимости монотонной последовательности. Число е.

4. Теорема Кантора о вложенных отрезках.

Ключевые слова: Монотонность, ограниченность, признаки сходимости, вложенные отрезки.

Последовательность называется фундаментальной, если для любого числа найдется такой номер , что из следует .

Критерий Коши сходимости последовательности. Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Последовательность называется возрастающей, если для любого Последовательность называется невозрастающей, если для любого

Последовательность называется убывающей, если для любого