Правило 3 сигм

Найдем вероятность того, что отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания по модулю меньше некоторого положительного , т.е. найдем вероятность

.

Итак: .

Вероятность того, что нормальная случайная величина отклоняется от своего математического ожидания по модулю меньше, чем на , определяется формулой

.

Если в этой формуле положить , то получим

.

Отсюда вытекает, что среди 10000 значений нормальной случайной величины в среднем только 27 выйдут за пределы интервала . Это означает, что практически среди небольшого числа значений нет таких, которые выходят за пределы указанного интервала. В этом и состоит правило «трех сигм», которое широко применяется в статистике.

41. Неравенство Маркова

Теорема. Если случайная величина может принимать только неотрицательные значения и у нее есть математическое ожидание, то какова бы ни была величина той же размерности, что и , всегда выполняется неравенство

.

Доказательство. Пусть - непрерывная случайная величина с плотностью распределения . Из условия теоремы следует, что при и при .

Математическое ожидание случайной величины -

(разобьем на два интеграла)

.

Так как , то

.

Итак,

, .

Если это неравенство вычесть из тождества 1=1, то

или . Что и требовалось доказать.

42. Неравенство Чебышева

Теорема. Каково бы ни было для любой случайной величины , дисперсия которой конечна, имеет место неравенство Чебышева

.

Доказательство. Рассмотрим величину .

.

Для получим

.

Подставим в это неравенство выражение через и

или

Определение. Последовательность чисел называется равномерно ограниченной, если существует такая постоянная М, что для любого