Функция Лапласа и ее связь с функцией распределе- ния нормальной случайной величины

Функция называется функцией Лапласа или интегралом вероятности. Она тесно связана с нормальным законом распределения. Ее основные свойства:

1) область определения функции Лапласа – вся числовая ось;

2) функция Лапласа монотонно возрастает на всей числовой прямой, т.к. ;

3) функция - нечетная, покажем это.

4) . Действительно,

Итак, пусть у нас имеется нормальная случайная величина X с математическим ожиданием а и дисперсией . Тогда функция распределения этой случайной величины

. Сделаем замену переменной в этом интеграле, положив . Тогда , при , , при , .

Если , то случайная величина называется нормированной. График функции распределения нормированной нормальной случайной величины с математическим ожиданием , т.е. имеет вид:

Найдем вероятность того, что случайная величина , распределенная по нормальному закону с параметрами , , примет значение из

Таким образом,

.

Найдем вероятность того, что отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания по модулю меньше некоторого положительного , т.е. найдем вероятность

.

Итак: .

Вероятность того, что нормальная случайная величина отклоняется от своего математического ожидания по модулю меньше, чем на , определяется формулой .