Теорема Чебышева. Если - последовательность попарно независимых случайных величин, у каждой из которых есть математическое ожидание и дисперсия

Если - последовательность попарно независимых случайных величин, у каждой из которых есть математическое ожидание и дисперсия , , причем дисперсии равномерно ограничены, то для любого положительного

Доказательство. Последовательность равномерно ограничена, т.е. существует такое М, что для любого натурального . Рассмотрим случайную величину

. У этой величины есть математическое ожидание и дисперсия:

,

Здесь мы воспользовались свойством, что если случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

Таким образом, удовлетворяет всем требованиям для применения неравенства Чебышева, а значит, при любом имеем или

Итак,

Пусть , тогда при любых .

Отсюда , что и требовалось доказать.