Интегральная теорема Лапласа

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие может произойти с вероятностью p или не произойти с вероятностью q. Если Х_i – число наступлений события А в i-том испытании, то Х₁+Х₂+…+Х_n – число наступлений события А во всех

n испытаниях. Ранее нами было получено, что М(Х_i) =р, а D(Х_i) =pq.

Случайные величины Х_i одинаково распределены и независимы, тогда справедлива теорема Ляпунова и выполняется следующее утверждение:

- это равенство называют интегральной теоремой Лапласа.

Очевидно, что интегральная теорема Лапласа является следствием теоремы Ляпунова. Отсюда вытекают следующие соотношения:

Из теоремы Лапласа вытекает, что случайная величина m – число наступлений события в n независимых испытаниях распределена при больших n приближенно по нормальному закону с математическим ожиданием np и дисперсией npq, где р – вероятность наступления А в i-том испытании, q – вероятность не наступления А в i-том испытании.

Пример. При установившемся технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 80% продукции первого сорта. Чему равна вероятность того, что в партии 1000 изделий число первосортных заключено между 760 и 830.

Решение:

n=1000, p=0,8 (первый сорт).

Требуется найти вероятность того, что число m первосортных изделий заключено между α=760, β=830

np=1000•0,8=800

.