Теорема Бернулли. Пусть комплекс условий S воспроизводится n раз, и каждый раз событие А может происходить с одной и той же вероятностью р независимо от результатов предыдущих

Пусть комплекс условий S воспроизводится n раз, и каждый раз событие А может происходить с одной и той же вероятностью р независимо от результатов предыдущих опытов. Тогда вероятность того, что отклолнение частоты от вероятности р< по модулю положительного числа , стремится к достоверной, при , т.е. .

Доказательство: Пусть случайная величина - число наступлений события А в i -ом испытании, тогда распределение этой случайной величины задается таблицей:

Найдем числовые характеристики этого распределения , .

Отсюда видно, что все требования т. Чебышева выполняется, а значит, если сумму обозначить через m (это число наступлений события А в n испытаниях)
то по формуле из следствия к т. Чебышева, получим

Устремляя получим