Наивероятнейшим числом наступления события

Число наступлений события , которому отвечает наибольшая вероятность, называют наивероятнейшим числом наступления события .

Пусть - наивероятнейшее число наступлений события , тогда , . Отсюда или , следовательно, . С другой стороны, , тогда , т.е. .

Итак, определяется двойным неравенством . Отметим, что разность , следовательно, всегда существует целое число , удовлетворяющее двойному неравенству выше. При этом если - целое число, то наивероятнейших чисел будет два: и .

31. Асимптотические формулы вычисления вероятностей

При больших и на практике пользоваться формулой Бернулли затруднительно.В этом случае пользуютсялокальной теоремой Лапласа, которую приведем без доказательства.

Теорема. Если вероятность наступления события в каждом из испытаний отлична от 0 или 1, то -вероятность того, чтособытие при этом наступит раз, при удовлетворяет предельному неравенству

,

где , .

При сделанных предположениях относительно , если достаточно большое, имеет место приближенное равенство

.

Формула эффективнее, когда близко к 0.5. Если - мало, пользуются асимптотической формулой Пуассона, которая вытекает из следующей теоремы Пуассона.

Теорема. Пусть проводится независимых испытаний, в каждом из которых событие наступает с вероятностью . Тогда, если число испытаний неограниченно возрастает, а , причем - величина постоянная, то

.