Условные законы распределения. Зависимые и независимые СВ

Пусть у нас имеется случайный вектор , распределение которого дается таблицей:

Рассмотрим функцию распределения случайной величины при условии, что приняло значение , . Эту обозначают . Найдем вероятность того, что приняло значение , когда приняло значение :

.

Аналогично

.

В случае непрерывного распределения вектора появляются условные плотности распределения , когда , и , когда , то есть и . Можно показать, что

где – плотность распределения случайной величины , а – плотность распределения У.

Случайная величина называется независимой от случайной величины , если распределение не зависит от того, какое значение приняло . Аналогично определяется независимость от . Свойство независимости случайных величин взаимно. Если величины и независимы, то в этом случае (дискретное распределение) и (непрерывное распределение).

26. Функция одной случайной величины

Пусть дана функция одной переменной с областью определения и некоторая случайная величина , все значения которой принадлежат множеству . Тогда, если приняла значение , будем считать, что новая случайная величина приняла значение . Эта новая случайная величина называется функцией случайной величины , и в этом случае пишут: .

Вопрос состоит в том, каков закон распределения , если мы знаем закон распределения .

Остановимся сначала на дискретной случайной величине , закон распределения вероятностей которой задается таблицей

Событие происходит с вероятностью , с этой же вероятностью примет значение . Мы имеем таблицу распределения

Значения
вероятности

Если существует несколько значений , для которых принимает одно и то же значение, то все такие случаи объединяются в один, которому соответствует по теореме сложения вероятность, равная сумме вероятностей объединяемых случаев.