Мат. ожидание непрерывной СВ

Пусть – непрерывная случайная величина, которая принимает значения на [a,b].Тогда плотность распределения вне [a,b] равна 0. Разобьем [a,b] на частей точками

. Тогда получим отрезки , , …, , …, . По теореме о среднем имеем

Здесь - плотность распределения , , . Рассмотрим дискретную случайную величину , которая принимает значения с вероятностями . Так как

, ,

то случайная величина определена корректно.

Математическое ожидание дискретной случайной величины мы находить умеем, следовательно

.

Это интегральная сумма для непрерывной функции на [a,b]. Пусть . Тогда дискретная величина будет все менее и менее отличаться от непрерывной случайной величины , а в пределе она становится непрерывной. Поэтому естественно за математическое ожидание непрерывной величины взять предел математического ожидания , если последний существует.

Так как -непрерывная функция, то

Аналогично, если принимает значения на всей числовой прямой, то