Формула полной вероятности. Следствием обеих теорем - теоремы сложения и умножения - является так называемая формула полной вероятности

Следствием обеих теорем - теоремы сложения и умножения - является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти вместе с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий. Будем называть эти события гипотезами.

Докажем, что в этом случае

, (*)

т. е. вероятность события вычисляется как сумма произведений вероятности любой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Формула (*) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство. Так как гипотезы образуют полную группу событий, то событие может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез

.

Т. к. гипотезы несовместны, то и комбинации - также несовместны. Покажем это - . Применяя к ним теорему сложения, получим

.

Применяя к событию теорему умножения, получим

,

что и требовалось доказать.

Пример. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 30%, вторая- 25%, третья- 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2%, 1% и 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный болт оказался дефектным.

Решение. Обозначим через событие, состоящее в том, что случайно выбранный болт – дефектный, а через – события, состоящие в том, что этот болт произведен соответственно 1-ой, 2-ой и 3-ей машинами. Из условия задачи следует, что , , ; , , . По формуле полной вероятности получаем, что =0.3·0.02+0.25·0.01+0.45·0.3=0.022.

12. Теорема гипотез. (Формула Байеса)

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая гипотез, или формула Байеса. Поставим следующую задачу.

Имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно . Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события . Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

Здесь, по существу, речь идет о том, чтобы найти условную вероятность для каждой гипотезы.

Из теоремы умножения имеем:

или, отбрасывая левую часть,

откуда

,

Выражая Р(А) с помощью формулы полной вероятности, имеем

,

Пример. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго - 0,4. После стрельбы по мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

Решение. До опыта возможны следующие гипотезы:

- ни первый, ни второй не попадут; - оба попадут; - первый попадет, второй - нет; - первый не попадет, второй попадет. Вероятность этих гипотез:

=0,2×0,6=0,12; =0,32; =0,8×0,6=0,48; =0,2×0,4=0,08.

Условные вероятности наблюденного события при этих гипотезах:

; ; ; .

После опыта невозможные гипотезы ¾ и .

^.