Плотность распределенияCВ и ее св-ва

Пусть имеется непрерывная случайная величина с функцией распределения , которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от до .

,

т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать Dx®0. В пределе получим производную от функции распределения Обозначим . (*)

Функция - производная функции распределения, характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (плотностью вероятности) непрерывной случайной величины . Иногда называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения величины .

Плотность распределения так же, как и функция распределения есть одна из

форм закона распределения. Функции распределения существует только для непрерывных случайных величин.

Рассмотрим непрерывную случайную величину с плотностью распределения и элементарный участок , примыкающий к точке . Вероятность попадания случайной величины на этот элементарный участок есть .

Выразим вероятность попадания величины на отрезок от до через плотность распределения. Очевидно, оно равно

.

Формула (*) выражает плотность распределения через функцию распределения. Зададимся обратной задачей: выразить функцию распределения через плотность. По определению

,

откуда .

Св-ва:

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция , что вытекает из того, что - неубывающая функция;

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен 1:

, что следует из формул и .

3.

Действительно, .

Геометрически все основные свойства плотности распределения означают, что

- кривая лежит не ниже оси абсцисс;

- полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна 1.

Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное между и , равна площади заштрихованной криволинейной трапеции.

Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением:

1. Найти плотность распределения f(x).

2. Найти вероятность попадания величины на участок от 0,25 до 0,5.

Решение. Плотность распределения выражается формулой: