Следствия из теоремы умножения вероятностей

Следствие 1. Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .

Доказательство. Дано, что не зависит от , т.е. (**)

Требуется доказать, что и событие не зависит от события , т. е. (**)

При доказательстве предполагаем, что . Напишем теорему вероятностей в двух формах:

или принимая во внимание выше . Разделим обе части на . Тогда .

Из этого следствия вытекает, что зависимость и независимость событий всегда взаимны.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Это следствие непосредственно вытекает из определения независимых событий.

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так:

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

Доказательство проводится методом полной индукции. В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:

,

т. е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий или

.