Непрерывные случайные величины. Определение. Случайная величина, возможные значения которой сплошь заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной случайной величиной

Определение. Случайная величина, возможные значения которой сплошь заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной случайной величиной.

Пример. Производится стрельба по крупной мишени. Случайная величина Х - расстояние от центра мишени до места попадания. Х - непрерывная случайная величина, возможные значения которой заполняют промежуток от 0 до R.

Дискретная случайная величина задается перечнем всех возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания неприемлем для непрерывных случайных величин.

Для задания непрерывной случайной величины вводят интегральную функцию распределения вероятностей.

Определение. Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х.

Свойства интегральной функции распределения

1) F(x) Î [0; 1]

2) F(x) – неубывающая функция

3) F(- ) = 0, F(+ ) = 1

4) Вероятность того, что случайная величина x примет значение в интервале (а, b), равна Р(а < х < b) = F(b) - F(a)

5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна 0.

Определение. График интегральной функции распределения носит название интегральной кривой распределения.

Пример. Случайная величина Х задана своей интегральной функцией распределения.

Требуется определить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (0, 1).

Решение. По свойству 4 интегральной функции распределения получим P(0<x<1) = F(1) – F(0) = – 0 =

Определение. Непрерывную случайную величину можно также задать с помощью дифференциальной функции распределения вероятностей:

f(x) = (F(x))'

f(x) характеризует плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция также носит название плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины X.

Свойства плотности распределения

1.

2. , если х определена на интервале (а, b) и f(x) не равна нулю, то

3. f(x) 0

4.

Пример. Задана интегральная функция распределения непрерывной случайной величины X.

Требуется определить:

а) коэффициент а;

б) вид плотности распределения f(x);

в) Р( < х < ).

Решение. Воспользуемся свойствами интегральной и дифференциальной функций распределения.

б) f(x) = (F(x))'

Отсюда

а)

в) Р( < х < ) = F() – F() = – =