Примеры дискретных законов распределений

1. Распределение Бернулли.

Пусть имеется некоторое событие А, вероятность появления его в произвольном событии равна р, вероятность ненаступления – q, р+q=1. Случайная величина Х – число наступлений события А в одном испытании. Тогда случайная величина Х распределена по закону Бернулли и ее распределение имеет вид:

Х
P	р	q

2. Равномерное распределение.

Пусть имеется некоторая произвольная случайная величина Х, которая принимает значения х₁, х₂, х₃,..., х_n.

Определение: Если вероятности того, что случайные величины примут то или иное значение равны между собой, то распределение данной величины называется равномерным.

Распределение случайная величина Х имеет вид:

Х	х1	х2	…	хn
Р			…

3. Геометрическое распределение.

Пусть имеется некоторое произвольное событие А, вероятность появления его в произвольном событии равна р, вероятность ненаступления – q, р+q=1. Случайная величина Х – количество испытаний, проведенных до первого появления события А. Будем говорить, что случайная величина Х имеет геометрическое распределение и ее ряд распределения имеет вид:

Х				…	n	…
P	p	qּp	qּqּp	…	qn-1ּp	…

4. Биномиальное распределение.

Определение: Дискретная случайная величина Х распределена по биномиальному закону, если ее закон распределения имеет вид:

Х				…	n
P	p0	p1	p2	…	pn

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться или не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянная и равна р, вероятность ненаступления – q. Дискретная случайная величина Х – число появлений события А в этих испытаниях.

Таким образом, величина Х распределена по биномиальному закону и распределение ее имеет вид

Х			…	k	…	n
P			…		…

5. Распределение Пуассона.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения Р_n(m) – вероятности того, что в n испытаниях событие А наступит ровно m раз, используют формулу Пуассона, если и

Будем говорить, что дискретная случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если ее закон распределения имеет вид:

Х				…	m
P	p0	p1	p2	…	pm

где , определяется по формуле Пуассона (). Можно заключить, что распределение Пуассона является предельным случаем (при ) биномиального распределения в том смысле, что при больших n: , где ; причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n. Грубое правило для применения формулы состоит в том, что n – должно быть не менее нескольких десятков, а между 0 и 10.

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу придут три негодных изделия в партии.

Решение. Непосредственно воспользуемся формулой Пуассона. n = 5000, m = 3, р = 0,0002

Определим :