Элементарные понятия и теоремы теории вероятностей

Определение: Суммой двух событий А и В называется событие обозначаемое А+В, состоящее в появлении события А или В, или обоих вместе. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Следствие. Пусть задана группа попарно несовместных событий А₁, А₂,..., А_n. Утверждается, что

Пример. Стрелок производит выстрел по мишени, разделенной на две части. Вероятность попадания в 1 область равна 0,45, во 2 область - 0,35. Определить вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает либо в 1, либо во 2 область.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что стрелок попал в 1 область, событие В - попал во 2 область. Эти события несовместны. События А+В состоит в том, что стрелок попал либо в область 1, либо в область 2.

Р(А) = 0,45

Р(В) = 0,35

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,8

Теорема 2. Если события А₁, А₂,..., А_n попарно несовместны и сумма их есть достоверное событие (в этом случае говорят, что они образуют полную группу событий), тогда

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна

Р(А) + Р(Ā) = 1

Определение. Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

Определение. Несколько событий называются попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

Определение. Два события называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от появления или непоявления другого из них.

Определение. Произведением двух событий А и В называется событие обозначаемое А·В, состоящее в совместном появлении событий и А и В.

Теорема 3. Пусть А и В независимые события. Вероятность появления каждого из них известна. Вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий.

Р(А·В) = Р(А) ·Р(В)

Определение. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от всевозможных произведений этой группы.

Теорема 4. Если события А₁, А₂,..., А_n независимы в совокупности, то утверждается, что вероятность их произведения равна произведению вероятностей данных событий.

Теорема 5. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂,..., А_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий, где событие А состоит в том, что появится хотя бы одно из событий А_i.

Пример. Определить вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что на первой монете при бросании выпал герб

Р(А) =

Событие В состоит в том, что на второй монете выпадает герб при одном бросании

Р(В) =

Событие А·В состоит в том, что на обеих монетах выпадет герб. События А и В независимы

Р(А·В) = Р(А) ·Р(В) = · =

Пример. Вероятности поражения цели при стрельбе из трех орудий равны соответственно Р₁, Р₂, Р₃. Определить вероятность хотя бы одного попадания при одновременном выстреле из всех орудий, если

Р₁ = 0,8; Р₂= 0,7; Р₃ = 0,6

Решение. Пусть А₁ состоит в том, что цель поражена из 1-го орудия, А₂ – из 2-го, А₃ – из 3-го. Событие А состоит в том, что цель поражена хотя бы один раз.

Воспользуемся утверждением теоремы 5.

,

где Р(А₁) = 0,8; Р(А₂) = 0,7; Р(А₃) = 0,6

P(Ā₁) = 1 - Р(А₁) = 0,2

Р(Ā₂) = 1 - Р(А₂) = 0,3

Р(Ā₃) = 1 - Р(А₃) = 0,4

Р(А) = 1 - 0,2·0,3·0,4 = 0,976

Определение. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило, называется условной вероятностью и обозначается Р_А(В)

Теорема 6. Пусть А и В зависимые события. Р(А) и Р_А(В) известны. Тогда

Р(А·В) = Р(А) ·Р_А(В)

Пример. Среди 25 электрических лампочек четыре нестандартные. Найти вероятность того, что две взятые последовательно лампочки окажутся нестандартными.

Решение. Искомое событие состоит в том, что нестандартными будут и первая (событие А) и вторая (событие В) лампочки. Для определения вероятности этого события воспользуемся данными теоремы 6.

Р(А·В) = Р(А) - Р_А(В)

Но Р(А) = , а Р_А(В)=

так как при наступлении события В общее число лампочек и число нестандартных среди них по сравнению с первоначальным уменьшится на одну. Таким образом,

Р(А·В) = · =0,02

Определение: События А и В называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Теорема 7. Вероятность появления хотя бы одного из 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А·В)

Замечание. 1) Если А и В независимы, то

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) ·Р(В)

2) Если А и В зависимы, то

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) ·Р_А(В)

Пример. Два стрелка производят по одному выстрелу в одну мишень. Вероятности попадания равны соответственно Р₁ = 0,7 и Р₂ = 0,8. Определить вероятность попадания хотя бы одним стрелком.

Решение. Искомое событие состоит в том, что в мишень попадут либо 1 стрелок (событие А), либо 2 стрелок (событие В), либо оба вместе (событие АВ). Таким образом, используя теорему 7, можно написать

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) ·Р(В) = 0,7 + 0,8 - 0,7·0,8 = 0,94