Дискретные и непрерывные случайные величины

Определение. Случайной величиной называется числовая функция, заданная на множестве исходов данного опыта (то есть на пространстве элементарных событий).

Пример. Один раз бросается игральная кость. Случайной величиной является число очков, выпавших на верхней грани. Возможные ее значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Мы будем обозначать случайные величины буквами X, Y, Z,..., а их возможные значения х, у, z,.... Различают два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Определение. Величина Х называется дискретной случайной величиной, если множество ее возможных значений представляет собой конечную или счетную последовательность чисел х₁, х₂, х₃,..., х_i,... и если каждое событие Х = х_i является случайным событием, то есть имеет определенную вероятность р_i.

Для задания дискретной случайной величины необходимо указать все возможные ее значения и перечислить их вероятности.

Определение. Законом распределения дискретной случайной величины Х называют любое правило или соответствие между возможными значениями х_i и их вероятностями.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины, первая строка содержит возможные значения, а вторая – их вероятности. Такая таблица называется таблицей распределения или рядом распределения.

Возможные значения	х1	х2	…	хi	…	хn-1	хn
Вероятность	p1	p2	…	pi	…	pn-1	pn

Сумма вероятностей значений случайной величины всегда равна 1, т.е. .

Графическое представление ряда распределения носит название многоугольника распределения.

Пример. Построить закон и многоугольник распределения случайной величины Х – числа выпадений герба при одновременном бросании 2-х монет.

Х
Р

Случайная величина X может принимать 3 значения: 0, 1, 2. Р(Х=0) - вероятность, что при одном бросании двух монет герб не выпадет ни на одной монете

Аналогично, можно определить вероятности Р(Х=1) и Р(Х=2).

Если случайная величина Х принимает лишь конечное число значений х₁, х₂, х₃,..., х_n, то события Х = х_i, i == 1, 2,..., n образуют полную группу событий и поэтому сумма вероятностей этих событий равна 1.

р₁ + р₂ + … + р_n = 1

Если множество значений случайной величины Х счетно, то также

Пример. В урне находятся 2 белых и 4 черных шара. Последовательно вынимаются шары до тех пор, пока не появится черный шар.

Случайная величина Х - число вынутых при этом шаров. Построить ряд распределения случайной величины X.

Решение.

Х
Р

Случайная величина Х может принимать лишь 3 значения: 1, 2, 3. Событие X = 1 состоит в том, что первый вынутый шар сразу же оказался черным

Событие Х = 2 состоит в том, что первый вынутый шар оказался белым, а следующий – черным

Аналогично определим