Формула полной вероятности. Предположим, что событие А может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместимых событий А1

Предположим, что событие А может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместимых событий А₁, А₂,..., А_n. Вероятности каждого события известны и равны Р(А_i), i = 1, 2,..., n. Известны так же и условные вероятности Р_Ai(А), i = l, 2,..., n. Требуется определить вероятность события А.

Теорема 8.

Определение. Событие полной группы А₁, А₂,..., А_n, приводящее к появлению события А, называется гипотезой для А.

Пример. На первом заводе на каждые 100 лампочек производится в среднем 90 стандартных, на втором – 95, на третьем – 85, а продукция их составляет соответственно 50%, 30%, 20% всех электролампочек, поставляемых в магазины данного района. Найти вероятность приобретения стандартной лампочки.

Решение. Через А обозначим искомое событие, а через А₁, А₂, А₃ события, заключающиеся в том, что приобретенная лампочка изготовлена соответственно на первом, втором и третьем заводах. Известны вероятности этих событий:

Р(А₁) = 0,5; Р(А₂) = 0,3; Р(А₃) = 0,2 и условные вероятности события А относительно каждого из них: Р_А1(А) = 0,9; Р_А2(А) = 0,95; P_А3(А) = 0,85. Это вероятности приобретения стандартной лампочки при условии изготовления ее соответственно на первом, втором, третьем заводах.

Теперь для определения вероятности искомого события А, достаточно воспользоваться утверждением теоремы 8.

= 0,5·0,9+0,3·0,95+0,2·0,85 = 0,905